近世代数--多项式环--未定元的存在性

• 引出未定元，环上的多项式
• 未定元indeterminate
• 有单位元的环上未定元的存在性
• 形式幂级数环$\bar{R}$（无限）
• 多项式环$R[x]$（有限）
• 环$R$上的一元多项式环$R[x]$本质上是唯一的

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

引出未定元，环上的多项式

• 数域$F$上的多项式：$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n+\dots \dots$我们说$a_i$是多项式$f(x)$的系数，那么，$x$是什么？

• 数域上有多项式，一般有单位元的环上有多项式吗？

未定元indeterminate

• $R$为有单位元的环，单位元为$1$，
• 根据环的扩张定理，我们知道环$R$有扩环，表示为$\bar{R}$，
• $x\in \bar{R}$，如果有
  • $\forall r\in R,rx=xr$
  • $1x=x$
  • 对$R$的任意一组不全为零的元素$$\begin{gathered} a_0,a_1,\dots \dots a_n, \\ f(x)=a_0+a_{1}x+\dots \dots +a_n{x}^n\ne 0 \end{gathered}$$

称 $x$为$R$上的未定元

（为什么要叫未定元？）

有单位元的环上未定元的存在性

“有单位元的环$R$上一定存在未定元$x$” 证明思路：

• 先证$\bar{x}\in \bar{S},\bar{x}$是$S$上的未定元

• 通过映射$\phi :R\to S,\phi (x)=\bar{x}$

• $R$的扩环$\bar{R}=(\bar{S}-\phi (R))\cup R=(\bar{S}-S)\cup R$

• $x\in \bar{R},$证明$x$是$R$上的未定元。
  
  $R$是有单位元的环，

• 第一步：构造环$\bar{S}$

  • 集合$\bar{S}=\{(a_0,a_1\dots a_n\dots )|a_0,a_1,\dots a_n\dots \in R\}$

  • 定义代数运算："+"、"·"

    $\forall \alpha =(a_0,a_1,\dots a_n\dots ),\beta =(b_0,b_1,\dots b_n\dots )\in \bar{S}$

    • “+”：$\alpha +\beta =(a_0+b_0,a_1+b_1,\dots a_n+b_n\dots )$
    • “·”：$\alpha \cdot \beta =(c_0,c_1,\dots c_n\dots ),c_k={\sum }_{i+j=k}{a}_i{b}_j(k=0,1\dots n\dots )$

  • $\bar{S}$关于"+"、"·"运算构成一个有单位元的环，单位元为$\bar{1}=(1,0,\dots 0,\dots )$

• 第二步：从$\bar{S}$构造子环$S$

  $S=\{\bar{r}=(r,0,\dots 0,\dots )|r\in R\}$
  $S$为$\bar{S}$的子环，$\bar{1}$为$S$的单位元

• 第三步：找到$\bar{x}\in \bar{S}$，证明$\bar{x}$是$S$上的未定元

  $\bar{x}=(0,1,0,\dots 0,\dots )$
  证明$\bar{x}$是$S$上的未定元

  • $\forall \bar{r}\in S,\bar{r}\bar{x}=\bar{x}\bar{r}$

    $\bar{r}\bar{x}=(r,0,\dots 0,\dots )(0,1,0,\dots 0,\dots )=(0,r,0,\dots 0,\dots )$,
    $\bar{x}\bar{r}=(0,1,0,\dots 0,\dots )(r,0,\dots 0,\dots )=(0,r,0,\dots 0,\dots )$,
    $\to \bar{x}\bar{r}=\bar{r}\bar{x}$

  • $\bar{1}\bar{x}=\bar{x}$

    $\bar{1}\bar{x}=(1,0,\dots 0,\dots )(0,1,0,\dots 0\dots )=(0,1,0,\dots 0\dots )=\bar{x}$

  • 对于$S$任意一组不全为零的元素${\bar{a}}_0=(a_0,0,\dots 0\dots ),{\bar{a}}_1=(a_1,0,\dots 0\dots ),\dots {\bar{a}}_n=(a_n,0,\dots 0\dots ),\dots ,$

    ${\bar{x}}^n=(0,0,\dots 0,1,0,\dots )$，前面共$n$个0
    $$\begin{gathered} f(\bar{x})={\bar{a}}_0+{\bar{a}}_1\bar{x}+{\bar{a}}_2{\bar{x}}^2+\dots +{\bar{a}}_n{\bar{x}}^n \\ =(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )\ne 0 \end{gathered}$$

• 第四步：构造映射$\phi :R\to \bar{S},$得到扩环$R$

  $\phi :R\to \bar{S},\phi (r)=(r,0,0,\dots 0,\dots ),$即$\phi (R)=S,\phi$是单同态。
  由环的扩张定理得，$\bar{R}=(\bar{S}-\phi (R))\cup R,\bar{\phi }:\bar{R}\cong \bar{S}$

• 第五步：找到$x\in \bar{R}$，证明$x$是$R$上的未定元

  $x\in \bar{R},$使$\bar{\phi }(x)=\bar{x}$
  证明$x$是$R$上的未定元

  • $\forall r\in R,rx=xr$

    $$\begin{gathered} \bar{\phi }(rx) \\ =\bar{\phi }(r)\bar{\phi }(x)=\bar{r}\bar{x} \\ =\bar{x}\bar{r}=\bar{\phi }(x)\bar{\phi }(r) \\ =\bar{\phi }(xr) \end{gathered}$$
    $\to rx=xr$

  • $1x=x$

    $\bar{\phi }(1x)=\bar{\phi }(1)\bar{\phi }(x)=\bar{1}\bar{x}=\bar{x}=\bar{\phi }(x)$
    $\to 1x=x$

  • 对于$S$任意一组不全为零的元素$a_0,a_1\dots a_n\dots$

    $$\begin{gathered} \bar{\phi }(a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n) \\ ={\bar{a}}_0+{\bar{a}}_1\bar{x}+\dots {\bar{a}}_n{\bar{x}}^n \\ =(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )\ne 0 \end{gathered}$$

形式幂级数环$\bar{R}$（无限）

通过上述过程，我们知道：

• $\bar{\phi }:\bar{R}\to \bar{S}$是同构的
• $\bar{S}=(a_0,a_1\dots a_n\dots )$
• $\bar{\phi }(a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n)=(a_0,a_1,\dots a_n,0\dots )$

推出：$\bar{R}$是形如$a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n+\dots$的表达式所组成的环

• 环$R$上的形式幂级数：表达式$a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n+\dots$
• 环$R$上的形式幂级数环：$\bar{R}$，记作$R[[x]]$

多项式环$R[x]$（有限）

• 一元多项式：$$\begin{gathered} f(x) \\ R \end{gathered}$$是有单位元$1$的环，$x$是$R$上的一个未定元，$$\begin{gathered} a_0,a_1,a_2\dots a_n\in R, \\ f(x)=a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n \end{gathered}$$为 $R$上关于$x$的一元多项式(polynomial)

  • $i$次项：$a_i{x}^i$
  • $i$次项系数：$a_i$
  • 常数项：$a_0$
  • 首项系数：$a_n$
  • 多项式次数：$n,degf(x)=n$

• 一元多项式环：$R[x]:R$上的以$x$为未定元的一元多项式环

  $R[x]=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots +a_n{x}^n|n\ge 0,a_0,a_1,\dots a_n\in R\}$

环$R$上的一元多项式环$R[x]$本质上是唯一的

$R、R^{\prime }$是两个有单位元的环，$x、y$是其上的未定元，
$R\cong R^{\prime }\to R[x]\cong R^{\prime }[y]$

证明：
$\phi :R\to R^{\prime }$
${\phi }^{\prime }:R[x]\to R^{\prime }[y]$

• $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots a_n{x}^n\in R[x]$
• $f(y)=a_0^{\prime }+a_1^{\prime }y+a_2^{\prime }{y}^2+\dots +a_n^{\prime }{y}_n\in R^{\prime }[y]$

$a_i^{\prime }=\phi (a_i),i=0,1,2\dots n$

因为$\phi$是同构，所以${\phi }^{\prime }$是同构

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--多项式环--未定元的存在性的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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