近世代数--整环上的唯一分解问题--相伴是整环上的等价关系，最大公因子建立在相伴所划分的等价类上

• 相伴是整环上的等价关系
• 最大公因子建立在相伴所划分的等价类上
• • 整除
  • 最大公因子

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：近世代数，方便检索。

相伴是整环上的等价关系

相伴：$D$为整环，$a,b\in D,a\mid b,b\mid a,$则称$a$与$b$相伴，记作$a\sim b$。

• 相伴是整环上的一种等价关系，对元素的划分。

  $i$是不可约元$\leftrightarrow i=ab\to i\sim a,b\in U$或$i\sim b,a\in U$

  因为乘以单位，并不会改变相伴关系，即在相伴的意义下仍然等价。

• 以下三种表达式等价：

  • (1) $a\sim b$
  • (2) $<a>=<b>$
  • (3) $\exists u\in U,u\in D,$使$a=bu$

  证明：

  • (1)$\to$(2)：$$\begin{gathered} a\sim b \\ \to a\mid b \\ \to \exists c\in D,b=ac \\ \to b\in <a> \end{gathered}$$，同理，$$\begin{gathered} a\in <b> \\ \to <a>=<b> \end{gathered}$$
  • (2)$\to$(3)：
    如果$$\begin{gathered} a=b=0 \\ \to \forall u\in U,u\in D, \end{gathered}$$有$a=bu$；$$\begin{gathered} a\ne 0,a\in <b>, \\ \to \exists u\in D, \end{gathered}$$使$a=bu$；又$$\begin{gathered} b\in <a> \\ \to \exists v\in D, \end{gathered}$$使$$\begin{gathered} b=av \\ \to b=buv \\ \to uv=1 \\ \to u\in U,v\in U \end{gathered}$$
  • (3)$\to$(1)：$\exists u\in U,u\in D,$使$$\begin{gathered} a=bu,b\mid a \\ \to \exists u^{-1}\in U,u^{-1}\in D, \end{gathered}$$使$$\begin{gathered} b=a{u}^{-1} \\ \to a\mid b \\ \to a\sim b \end{gathered}$$

最大公因子建立在相伴所划分的等价类上

整环上的整除、最大公因子概念。下方的等价类都是通过相伴关系划分的等价类。

整除

设$D$是整环，$a,b\in D$。

• 如果$\exists c\in D,$使$a=bc$，则称$b$是$a$的一个因子，$a$能被$b$整除，或$b$整除$a$，记作$b\mid a$

推论：

• $b\mid a\to$$(b$的等价类)$\mid a$：若$b\mid a\to \exists c\in D,$使$a=b\cdot c\to \exists u\in D,u\in U,a=(bu)\cdot (u^{-1})\cdot (c)\to bu\mid a$
• 同理 $b\mid a\to b\mid (a$的等价类)：若$b\mid a\to \exists c\in D,$使$a=b\cdot c\to \exists u\in D,u\in U,au\cdot u^{-1}=b\cdot c\to au=b\cdot (cu)\to b\mid au$

最大公因子

$d=gcd(a,b)$,若

• $d\mid a,d\mid b\to d$是$a,b$的公因子
• $\forall c\mid a,c\mid b,$必有$c\mid d$，则$d$是$a,b$的最大公因子

推论：

• 如果$d=gcd(a,b)$，那么$du$也是$a,b$的最大公因子：

  $d\mid a\to \exists u\in D,u\in U,$使得$du\mid a$
  $c\mid d\to \exists u\in D,u\in U,$使得$cu\mid d$

• 如果$d_1,d_2$是$a,b$的最大公因子，那么$d_1\sim d_2$

  $d_1=gcd(a,b),d_2=gcd(a,b),\to \exists u\in D,u\in U,$使得$d_{1}u=d_2\to d_1\sim d_2$

$d=gcd(a,b)$只是表示$d$是$a,b$的一个最大公因子

其实$gcd(a,b)$是$d$的等价类，而不是一个元素

• 例子：如果$c=gcd(a,b),f=gcd(d,e),$有$c=f$，那么$gcd(a,b)\sim gcd(d,e)$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--相伴是整环上的等价关系，最大公因子建立在相伴所划分的等价类上的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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