双曲线和直线联立公式_高中圆锥曲线解题技巧之齐次化联立(四)

在开始介绍齐次化联立，我说过使用齐次化联立的题型特征，就是涉及两条直线的斜率和或者斜率积，并且这两条直线过同一个定点，其实还有一种题型也可以尝试使用齐次化联立，就是两直线夹角为定值问题，这个题型在全国大部分地区都属于高考冷门题型，但是北京卷在前些年出过，因此这里还是要提一下。

首先两直线夹角在高中阶段有两种主流的方式计算，一种是利用向量求夹角的余弦值，另一种则是利用正切的两角差公式来计算，由于至今为止高考中出现夹角为定值的题型夹角100%为直角，是的，你没有看错，高考中解析几何关于两直线夹角为定值的证明问题，至少到目前为止，全都是直角。基于这个背景，其实如果在高考中见到类似题型，老老实实直接联立韦达定理化简向量积就可以了，但不怕一万，就怕万一，如果夹角恰好不是直角，用向量做就很容易出事了，因此这里要介绍一下如何用齐次化联立处理这类题型：

2009北京(理)：

09年至今北京大纲改了好几次，那时圆锥曲线第二定义还是大纲内内容，因此出现了双曲线准线，而后来这部分内容被删掉了，所以这里直接给出第一问答案：

。而第二问，实际上就要证直线OA与直线OB夹角为定值，如果投机取巧一点，了解高考解析几何夹角定值必为直角猜想，那么直接设点，算向量积，证明其为0就可以了，是一个标准的联立，韦达定理，化简流程。如果不想这么偷鸡，光明正大正面硬刚，那么使用齐次化联立是一个很好的选择。首先OA与OB都过定点O，其次OA与OB夹角的正切值为 ，我们只要证明这个值为定值或者恒不存在就可以了。不难看出，通过 这两个值就可以推出这个夹角的正切值，也就是说，我们构造一个以 为两根的一元二次方程，一切就会迎刃而解，这正是齐次化联立的用武之地。更妙的地方在于，由于定点是O，连平移都省下了，直接开始进入主题：

总体来说比起传统联立计算向量积的做法要简洁很多。我们算到两根之积时发现其为-1，因此也就没必要用到正切的两角差公式了，可谓是“我还没有发力你就已经倒下了”。

处理类似的题目当然也是遵循齐次化联立整理完之后，先看一下两个斜率乘积是否为-1，如果是，那就直接结束了，两直线垂直，夹角为90°；如果不为-1，我们再用韦达定理去算两根差，最后用

这个公式去算夹角的正切值。

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只要路线正确，这又是一个想错都难的题目。下一篇，将是齐次化联立的最后一篇，总体来说，齐次化联立是个比较容易掌握的技巧，在后面，齐次化构造的思想还会再次出现，应用得会更加巧妙，所以掌握技巧并不是关键，掌握解题思想才是关键。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的双曲线和直线联立公式_高中圆锥曲线解题技巧之齐次化联立(四)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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