概率统计：第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
内容提要：
一、 二维随机变量
1、二维随机变量的定义：设E是一个随机试验，它的样本空间是， 是定义在S上的随机变量，则叫做二维随机向量或二维随机变量。
2、二维随机变量的分布函数的定义：设是二维随机变量，对于任意实数，二元函数：
称为二维随机变量的分布函数，或称为二维随机变量和的联合分布数.
3、二维随机变量的分布函数的性质：
(1) 是变量的单调非降函数.
（2），且对于任意固定的对于任意固定的，，.
(3) 关于变量和的分别右连续
（4）对于任意有
需要注意的是：只要满足这四条的二元函数一定是分布函数。
4、设二维随机变量的全部可能取到得值是有限对或无限可列对记则称为二维离散型随机变量的分布律，或称为随机变量的联合分布律。
二维离散型随机变量的分布函数为：
5、对于二维随机变量的分布函数，如果存在非负的可积函数使对于任意实数有
则称是连续的二维随机变量，函数称为二维随机变量的概率密度，或称为随机变量的联合概率密度。
6、二维连续型随机变量的概率密度的性质：
（1) ； （2）；
(3) 设是面上的区域，点落内的概率为
；
（4）若在连续，则 。
注意：类似二维随机变量，我们可以定义多维随机变量及其分布函数，并讨论分布函数的性质。
二、条件分布和边缘分布
1、二维随机变量作为一个整体，具有分布函数，而X和Y作为随机变量，分布函数分别记为和，并依次称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数，并且。
（1）二维离散型随机变量，分布律，则Ｘ和Ｙ的分布律分别为
和分别称为关于和关于的边缘分布律．
对固定的，若则称
为在条件下随机变量的条件分布律。
对固定的，若则称
为在条件下随机变量的条件分布律。
（2）二维连续型随机变量，概率密度为，则和的概率密度分别为
和分别称为关于X和关于Y的边缘概率密度．
对固定的，若则称
为在条件下随机变量的条件概率密度。
为在条件下随机变量的条件分布函数。
对固定的，若则称
为在条件下随机变量的条件概率密度。
为在条件下随机变量的条件分布函数。
注意：关于联合分布函数，边缘分布，条件分布的概念可以类似推广到维随机变量上。
三、随机变量的独立性
1、二维随机变量的分布函数为，边缘分布函数分别为和，若对于任意实数，有
则称随机变量与称是相互独立的。
当是离散型随机变量时，与相互独立的充要条件是对于的所有可能取值有
当是连续型随机变量时，与相互独立的充要条件是等式
几乎处处成立。
注：所谓“几乎处处成立”是指平面上除去面积为零的以外，处处成立。
2、设是维随机变量，其分布函数为
其中为任意实数。
若维随机变量的分布函数是已知，则的维边缘分布函数就随之确定。例如维随机变量的分布函数为
若是维连续型随机变量的概率密度，则的维边缘概率密度就随之确定。例如维随机变量的概率密度为
若对于任意有
则称是相互独立的。
若对于任意；有
则称与相互独立。
若与相互独立，则与相互独立，其中是连续函数。
四、多个随机变量的函数的分布
1、设是离散型随机变量，分布律为
，
则的分布律为
设是连续型随机变量，密度函数为,的分布函数为
2、设是连续型随机变量，密度函数为,的分布函数为
特别地,当和相互独立, 分布密度分别为和,的分布函数为
可以得到以下结论:
若,且相互独立,则
若,且相互独立,则
3、设离散型随机变量，和相互独立, 分布律分别为和 ,则的分布律为
4、设是个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，记， ，则的分布函数为
的分布函数为
特别地，当具有相同的分布函数时有，
典型例题分析
例1、 设二维随机变量的联合概率密度函数为
其中，则称服从参数为的二维正态分布，记为。
则的边缘分布和条件分布都是正态分布，且，
。
对于给定的实数在下的条件分布为
于给定的实数在下的条件分布为
解：具有概率密度
因为所以，
即。
同理
即。
对于给定的实数在下的条件概率密度函数为
即
对于给定的实数在下的条件概率密度函数为
即
所以，二维正态变量的边缘分布和条件分布都是正态分布。
例2、 设随机变量具有概率密度为
（1）求，并判定随机变量是否相互独立；
(2)求的概率密度函数.
解： （1）
同理
由于
随机变量不相互独立。
（2）的概率密度函数为
例3、 设随机变量具有概率密度
求的概率密度函数.
解：设的分布函数为，
则当时，；
当时，
所以的概率密度函数
例4、设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求的概率密度函数.
解：
的分布函数为
所以的概率密度函数为
的分布函数为
所以的概率密度函数为
例5、若,且相互独立,则
证明：
所以。
由于,且相互独立,
下面我们用数学归纳法，证明 。
当结论成立。假设有，。
由于相互独立,则相互独立,且，，所以有
。
例6、随机变量的概率密度函数为
证明和不相互独立，和相互独立.
解：
同理
由于，
所以和不相互独立。
当时，
当时，
；
同理，当时，；
显然时，；
当时，；
即
又
同理
所以，任意对于实数，有，于是和相互独立。
自测题
一、填空题（每空3分，共21分）
(1)随机变量和相互独立，且，则随机变量的分布律为
(2)设和是两个随机变量，，，则．
（3）已知随机变量具有概率密度
则 ，的边缘密度函数．
（4）已知随机变量具有概率密度
则 ，＝．
（5）设相互独立，且，
则．
二.（9分） 设随机变量具有概率密度为
求的概率密度函数.
三（10分）．随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为
求的概率密度函数.
四、（10分）设随机变量和相互独立， ，求
五、（10分）设随机变量具有概率密度为
（1） 求边缘概率密度函数； （2）判定随机变量是否相互独立；
(3) 求的条件概率密度函数.
六、（10分）设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求的概率密度函数.
七、（10分）随机变量和相互独立，它们的概率密度函数分别为
求的概率密度函数。
八、（10分）设随机变量相互独立，具有相同的概率密度
求的概率密度函数.
九、（10分） 若,且相互独立,则
（四）自测题参考答案
一、（1）; (2)0.8;
(3), )； (4) ；
(5)
二、 三、
四、
五、（1）
（2）不相互独立； （3）
（2）
六、
七、
八、
九、（略）
from: http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap3.htm
总结
以上是生活随笔为你收集整理的概率统计：第三章 多维随机变量及其分布的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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