蛮力法0/1背包

蛮力法

蛮力法是一种简单直接解决问题的方法，常常直接基于问题的描述，所以蛮力法也是最容易应用的方法。

蛮力法所依赖 的基本技术是遍历，即采用一定的策略依次处理待求解问题的所有元素，从而找出问题的解。由于其需要依次穷举待处理的元素，因此蛮力法是一种典型的指数级时间算法。

问题

给定n个重量为{w₁,w₂,···,w_n}、价值为{v₁,v₂,···,v_n}的物品和一个容量为C的背包，0/1背包是一个求解这些物品中的一个最有价值的子集，并且能够装入到背包中。

应用实例

有n项可投资的项目，每个项目需要投入资金s_i，可获利润为v_i，现有可用资金M，应选择那些项目来投资才能获得最大利润。

想法

用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个物品集合的所有子集，找出所有重量不超过背包容量的子集，计算每个可能子集的总价值，然后找到价值最大的子集。例如，给定4个物品的重量为{7,3,4,5}，价值为{42,12,40,25}，和一个容量为10的背包，下表为求解的过程。

序号子集总重量总价值

1	∅	0	0
2	{1}	7	42
3	{2}	3	12
4	{3}	4	40
5	{4}	5	25
6	{1,2}	10	54
7	{1,3}	11	不可行
8	{1,4}	12	不可行
9	{2,3}	7	52
10	{2,4}	8	37
11	{3,4}	9	65
12	{1,2,3}	14	不可行
13	{1,2,4}	15	不可行
14	{1,3,4}	16	不可行
15	{2,3,4}	12	不可行
16	{1,2,3,4}	19	不可行

伪代码

输入：重量{w₁,w₂,···,w_n}，价值{v₁,v₂,···,v_n}，容量C
输出：装入背包的物品编号

初始化最大价值maxValue=0；结果子集S=∅；

对集合{1,2,···,n}的每一个子集T，执行如下操作：
2.1 初始化背包的价值value=0；背包的重量weight=0；
2.2 对子集T的每一个元素j
2.2.1 如果weight+w_j＜C，则weight=weight+w_j；value=value+v_j；
2.2.2 否则，转入步骤2考察下一个子集；
2.3 如果maxValue＜value，则maxValue=value；S=T；

输出S中的各元素；

源代码

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> //用于计算程序运算时间 #include<ctime>using namespace std;#define N 100struct goods{ int sign;//物品序号 int wight;//物品重量 int value;//物品价值 };int n, maxValue, cv, cw, C;//物品数量，价值最大，当前价值，当前重量，背包容量 int X[N],cx[N];//最终存储状态，当前存储状态 struct goods goods[N];int Force(int i) {if(i > n-1){if(maxValue < cv && cw + goods[i].wight <= C){for(int k = 0;k < n;k++)X[k] = cx[k];//存储最优路径maxValue = cv;}return maxValue;}cw = cw + goods[i].wight;cv = cv + goods[i].value;cx[i] = 1;//装入背包Force(i+1);cw = cw-goods[i].wight;cv = cv-goods[i].value;cx[i] = 0;//不装入背包Force(i+1);return maxValue; }int main() {clock_t starttime,finish; //用于计算时间double time;starttime=clock();//用于计算程序运行时间printf("物品种类n：");scanf("%d",&n);printf("背包容量C：");scanf("%d",&C);for(int i = 0; i < n; i++){printf("物品%d的重量w[%d]及其价值v[%d]：",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&goods[i].wight,&goods[i].value);}int sum1 = Force(0);printf("蛮力法求解0/1背包问题：\nX=[");for(int i = 0; i < n; i++){cout << X[i]<<" ";}printf("] 装入总价值%d\n",sum1);finish=clock();time = (double)(finish-starttime)/1000;//时间单位为秒starttime=clock();//用于计算程序运行时间cout<<"time is:"<<time<<endl;return 0; }

算法分析

对于一个具有n个元素的集合，其子集数量是2ⁿ，所以无论生成子集的算法效率有多高，蛮力法求解0/1背包都会是一个Ω(2ⁿ)的算法。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的算法分析与设计——蛮力法0/1背包的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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