《基于张量网络的学习入门》学习笔记1

• 量子力学的三大奥义
• • 什么是量子
  • 量子力学的三大奥义——叠加、测量和纠缠
  • • 第一大奥义：量子的叠加态
    • 第二大奥义：量子的测量
    • 第三大奥义：量子的纠缠态

量子力学的三大奥义

什么是量子

定义 量子是“离散变化的最小单元”
“离散变化”即指量子的 变化是不能连续的，就像人一样，只有一个人，两个人等，不能出现1.5个人。因此，我们可以称某个只能离散变化的东西叫“量子化”的。

量子力学的三大奥义——叠加、测量和纠缠

第一大奥义：量子的叠加态

为了理解叠加态这个概念，首要要定义“态矢量”

定义： 态矢量——表示量子力学状态的矢量
在量子力学里中的态，是矢量，我们用符号$|a⟩$表示态矢量，它由Hilbert空间中的列向量表示(相应的$⟨a|用Hilbert空间中的$行向量$表示$)，其中“$|⟩$”是英国物理学家狄拉克发明的，称为“狄拉克符号”。
注： $|a⟩$称为右矢，相应的$⟨a|$称为左矢，两者互为对偶向量，统称为态向量(或态矢)

定义： 经典位比特(比特)——一个经典位(比特)是可以处于两个完全不同状态的系统，这两个状态可以用二进制数$0$和$1$来表示
经典比特对应计算机的操作可以有“恒等”、“与”、“非”操作等，那么在量子计算机中或者量子计算领域,我们使用态矢量来作为“比特”。
在二维复数Hilbert空间中，经典比特的两个态可以用矢量的两个分量来表示，即用一堆正交归一的量子态来表示:
$|\uparrow ⟩\equiv \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,经典比特$0$ \quad\quad $|\downarrow ⟩\equiv \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$,经典比特$1$

通过线性代数的学习，我们知道，在一个线性空间中，如果给定一组线性无关的基底$a_1,a_2,\cdots ，a_n,$则向量空间中的任意向量$\beta$都可以表示为基底的线性组合：$\beta ={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n$
量子世界中的态可以同时是两种态的叠加——既向上又向下。现在我们可以用线性组合来表示这个叠加的状态。将$|\uparrow ⟩$和$|\downarrow ⟩$看成某个抽象的二维空间中的基底，那么，叠加状态就是：$|\phi ⟩=\alpha \left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$
其中，$\alpha$和$\beta$是复数,也叫做概率幅或者几率幅，并且满足$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$这样的一个态就被称为量子比特。

定义： 量子比特——一个量子比特是一个可以在二维复数Hilbert空间中描述的两级量子体系
根据叠加原理，量子比特的任何态都可以写成如下形式：
$|\phi ⟩=\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$
式中的$\alpha ,\beta ,|\alpha {|}^2,|\beta {|}^2$分别为叠加态坍缩的$0$和$1$的概率，并且服从归一化条件

除此之外，我们还在一个Bloch球中来便是量子比特，即
$|\phi ⟩=e^{i\gamma }(\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }(\sin \frac{\theta }{2}|1⟩)$(可借助欧拉公式进行理解:$e^{ix}=\cos x+i\sin x$)

---

下面会运用到一系列量子态相关的运算和性质，这里将常用的符号表附上

---

第二大奥义：量子的测量

回到叠加态的限制条件$(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$，我们可以把这个条件改写为向量内积的形式
$(\alpha \beta )\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=1$,这总内积为1的条件，也就是前面的归一化条件。
在量子力学中，把态矢量$|\phi ⟩$和它自身的内积记为：$⟨\phi |\phi ⟩$即左右矢相乘，那么归一化条件就可以记为$⟨\phi |\phi ⟩=1$。但是，因为量子力学中叠加态的系数是复数，所以我们在复数域重新定义内积。
为了让内积的结果是实数，我们将它的定义改写为叠加系数的模平方求和：
$⟨\phi |\phi ⟩=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2={\alpha }^{\ast }\alpha +{\beta }^{\ast }\beta$,这里$\ast$表示共轭转置。

定义： 态矢量的内积——在态矢量空间中按照一定顺序选取任意两个态矢，总可以定义一种计算规则，得到一个数(实数或复数)与之对应
这一定义规则被称为内积，记做
$c=⟨\alpha |\beta ⟩=(|\alpha ⟩,|\beta ⟩)=(\sum _i{a}_i^{\ast }⟨{\alpha }_i|)(\sum _i{b}_i|{\beta }_i⟩)=\sum _i{a}_i^{\ast }{b}_i⟨{\alpha }_i|{\beta }_i⟩$
态矢量有如下性质：
$\bullet$反对称性：$⟨\alpha |\beta ⟩={⟨\beta |\alpha ⟩}^{\ast }$
$\bullet$线性性：$⟨\alpha |\beta +\gamma ⟩=⟨\alpha |\beta ⟩+⟨\alpha |\gamma ⟩$
$\bullet$数乘性：$⟨\alpha |b\beta ⟩=b⟨\alpha |\beta ⟩=⟨\alpha |\beta ⟩b$
$\bullet$半正定性：$⟨\alpha |\alpha ⟩\ge 0$
满足加法和数乘两种运算性质的集合，被称为矢量空间或线性空间.满足加法、数乘和内积三种运算的空间被称为内积空间.完备的内积空间则称为希尔伯特空间.

---

接下来，我们了解一下本征态的概念

定义: 本征态——经历了矩阵乘法之后，方向保持不变(可以反向)的矢量
这就意味着$M|i⟩=m_i|i⟩$，其中$|i⟩$是本征态，$m_i$则是相应的本征值。以此我们可以联想到线性代数的特征方程，本征态对应特征向量，本征值对应特征值。

现在，我们终于可以开始讲量子比特的测量了
我们可以把一个量子比特的状态以概率幅的方式变换成比特信息，也就是说，量子比特$|\phi ⟩$以概率$|⟨\uparrow |\phi ⟩{|}^2$变换成比特$0$，以概率$|⟨\downarrow |\phi ⟩{|}^2$变换成比特$1$，由于内积是线性演算，且$|\uparrow ⟩$和$|\downarrow ⟩$是正交基底，那么前面两式内积的结果为：
$⟨\uparrow |\phi ⟩=⟨\uparrow |(\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩=\alpha$
$⟨\downarrow |\phi ⟩=⟨\downarrow |(\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩=\beta$
即$|\phi ⟩$以概率$|\alpha {|}^2$变换成比特$0$，以概率$|\beta {|}^2$变换成比特$1$
在量子力学中，测量值就是本征值也就是特征值。那么，联系线性代数，我们可以知道，特征值就是可观测量$M$在某个地方出现的概率。
测量可以给出任何一个本征值$m_i$，且每一个都有一定的概率。现在用$M$的本征矢量为基来扩展任意态$|\phi ⟩$:$|\phi ⟩=\sum _i{\alpha }_i|i⟩$,其中，${\alpha }_i$是复常数。

根据量子力学的知识，在进行测量后，态矢量会发生坍缩，也就是如果本征态$m_i$被测量，那么测量后的系统的态矢对应的本征矢量$|i⟩$，当前的量子系统就会确定到这个本征态上。
$|\phi ⟩\stackrel{m_i}{⟶}|i⟩$
注：测量是量子态上唯一不可逆的操作，其他操作都是可逆的
(此部分可以去看看薛定谔的猫加深理解)

---

第三大奥义：量子的纠缠态

根据纠缠的定义，肯定不是单一的系统能观测到的。所以，现在我们需要将视线放到不同的系统之间的结合。
我们首先来学习下张量积
定义：张量积——对每一对矢量$|{\phi }_1⟩\in H_1，|{\phi }_2⟩\in H_2$，Hilbert空间$H$都有一个矢量$|\phi ⟩$与他们联系，$|\phi ⟩$被称为$|{\phi }_1⟩,|{\phi }_2⟩$的张量积，记为$|{\phi }_{⟩}=|{\phi }_1⟩\otimes |{\phi }_2⟩$,常记为$|{\phi }_1⟩|{\phi }_2⟩$或$|{\phi }_1{\phi }_2⟩$,$H$中的矢量是$|{\phi }_1⟩\otimes |{\phi }_2⟩$的线性叠加。
例如，$A,B$分别是$m\times m$和$n\times n$的方阵，则：

好，下面可以开始讲量子纠缠态了
定义：量子纠缠态——当量子比特的叠加状态无法用各量子比特的张量积乘积表示时，这种叠加态就称为量子纠缠态
现在，给定两个电子，$A$处于向上的态${|\uparrow ⟩}_A$,$B$处于向下的态${|\downarrow ⟩}_B$，根据排列组合，总共有四种结合态$|\uparrow \uparrow ⟩、|\uparrow \downarrow ⟩、|\downarrow \uparrow ⟩、|\downarrow \downarrow ⟩$.态矢量$|\psi ⟩$可以是这四种态的叠加。如果，一个系统的态为：$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow \downarrow ⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow \uparrow ⟩$，由于它不能被分厘为单个电子的态的乘积，所以这个系统的态被称为纠缠态。
现在例举一个不是纠缠态的例子，我们看看和纠缠态的区别

我们可以发现，不是纠缠态的，有个类似于提取公因式的操作，而上面的纠缠态式子明显无法完成这个操作。这种能提取“公因式” 式子又被叫做直积态，即能够直接写成张量积的态。

直观的说，纠缠态的量子是会相互影响的，而非纠缠态的量子不会。

---

好了，这部分内容到一段落，希望感兴趣的朋友能关注收藏。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。