《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6

• 密度算符(密度矩阵)
• • 具体到坐标表象
  • • 在纯态上
    • 在混合态上
  • 纯态下的密度算符
  • 混合态下的密度算符
  • 密度算符的性质
  • 量子力学性质的密度算符描述
  • • 第一公设(态描述)
    • 第二公设(态演化)
    • 第三公设(测量公设)
    • 第四公设(态空间扩展公设)
  • 约化密度算子

密度算符(密度矩阵)

密度算符(也称为密度矩阵)是对量子态的一种不同的描述方法。用密度算符描述量子系统在数学上完全等价于用状态向量描述(即所有量子力学的假设都可以用密度算符的语言重新描述)。但密度算符在描述未知量子系统和复合系统子系统方面更具优越性。
定义：系综——设置子系统以概率$p_i$处于状态$|{\varphi }_i⟩$，称$\{p_i,|{\varphi }_i⟩\}$为一个系综，其中$p_i\ge 0$，且${\sum }_i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$它是一个迹为$1$的半正定厄米算子

定义：纯态——在密度算子的定义中，若系统以概率$1$处于某个态$|\varphi ⟩$，即系统由一个态矢表示，则称该系统是一个纯态，其密度算子为$|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|$

定义：混合态——若定义中每一个概率$p_i$都不为$1$，则说明系统只能由若干不同的态矢描述，每个子系统$|{\varphi }_i⟩$以一定的概率$p_i$出现，这样的系统称为混合态
混合态与纯态的区别：两者最打的区别是$tr({\rho }_{纯}^2)=1$，而$tr({\rho }_{混}^2)<1$

具体到坐标表象

在纯态上

$\psi (x)=c_1{\psi }_1(x)+c_2{\psi }_2(x)$
坐标取$x_0$的概率密度为：$p(x_0)=|\psi (x_0){|}^2=|c_1{\psi }_1(x_0)+c_2{\psi }_2(x_0){|}^2$

在混合态上

$p(x_0)=|{\psi }_1(x_0){|}^2{p}_1+|{\psi }_2(x_0){|}^2{p}_2$

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总之，在纯态下，两个态之间发生干涉，而在混合态下，无干涉现象发生。纯态称为概率幅的叠加，称为相干叠加，叠加的结果形成一个新的状态；混合态为概率的叠加，称为不相干叠加。

纯态下的密度算符

定义：密度算符——在数学上等价于状态向量方法，但在某些量子力学的应用场景下利用起来更为方便。可以利用密度算符给出任意力学量$F$在该状态上取值的概率与平均值
F
如果对于一个归一化态矢(纯态)$|\psi ⟩$来说，$F$是一个力学量可观测量。对应的本征值和本征矢量分别为$f_1$和$|{\phi }_i⟩$，算符$\hat{F}$的测量平均值为：$⟨F⟩=⟨\psi |\hat{F}|\psi ⟩$
任选一组正交归一完备基$\{|i⟩\}$，有：$⟨F⟩=\sum _i⟨\psi |i⟩⟨i|\hat{F}|\psi ⟩=\sum _i⟨i|\hat{F}|\psi ⟩⟨\psi |i⟩$
根据纯态下的密度算符为：$\hat{\rho }=|\psi ⟩⟨\psi |$，则有：$⟨F⟩=\sum _i⟨i|\hat{F}\hat{\rho }|i⟩=Tr(\hat{F}\hat{\rho })$
显然，密度算符是一个投影算符。
力学量$F$取$f_i$值的概率为$p(f_i)=|⟨{\phi }_i|\psi ⟩{|}^2=⟨{\phi }_i|\psi ⟩⟨\psi |{\phi }_i⟩=⟨{\phi }_i|\rho |{\phi }_i⟩$，是密度算符在算符$\hat{F}$的第$i$个本征态上的平均值。
可见，密度算符可以给出任意力学量$F$在该状态上取值的概率与平均值，因此，纯态下的密度算符是可以代替态矢来描述纯态的一个算符。

混合态下的密度算符

对于混合态的定义而言，一个物理量$F$的平均值要通过两次求平均实现。
第一次。进行量子力学平均，即求出力学量$F$在每个参与态$|{\psi }_i⟩$上的平均值$⟨{\phi }_i|\hat{F}|{\phi }_i⟩$
第二次。进行统计平均，即求出以各自概率出现的量子力学平均的平均(加权平均):
$⟨F⟩=\sum _i{p}_i⟨\psi |\hat{F}|\psi ⟩$
类似纯态的做法，可以得到：
$⟨F⟩=\sum _i\sum _j{p}_i⟨{\psi }_i|j⟩⟨j|\hat{F}|{\psi }_i⟩=\sum _j⟨j|\hat{F}[\sum _i|{\psi }_i⟩p_i⟨{\psi }_i|]|j⟩$

混合态下的密度算符：$\hat{\rho }=\sum _i|{\psi }_i⟩p_i⟨{\psi }_i|,\sum _i{p}_i=1$，则量子力学量$F$的平均值可以写成
$⟨F⟩=\sum _j⟨j|\hat{F}[\sum _i|{\psi }_i⟩p_i⟨{\psi }_i|]|j⟩=\sum _j⟨j|\hat{F}\hat{\rho }|j⟩=Tr(\hat{F}\hat{\rho })$
力学量$F$的取值概率为：
$p(f_i)=\sum _j|⟨{\phi }_i|{\psi }_j⟩{|}^2{p}_i=\sum _j⟨{\phi }_i|{\psi }_j⟩p_j⟨{\psi }_j|{\phi }_i⟩=⟨{\phi }_i|\rho |{\phi }_i⟩$
上述两式与纯态有同样的形式，只不过两种的密度算符的定义不同而已。

密度算符的性质

性质一：对于密度算符$\hat{\rho }$(在量子信息表述中常简写为$\rho$)有：

性质二：密度算符是厄米算符
$${\rho }^{†}=({\sum }_i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|{)}^{†}={\sum }_i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|=\rho$$若混合态是由一系列相互正交的态构成的，则密度算符的本征态就是参与混合态的哪些态$|{\varphi }_i⟩$，相应的本征值就是权重$p_i$,即：$\rho |{\varphi }_i⟩=p_i|{\varphi }_i⟩$

性质三：密度算符是半正定
$⟨\varphi |\rho |\varphi ⟩=⟨\varphi |({\sum }_i{p}_i|{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|)|\varphi ⟩={\sum }_i{p}_i⟨\varphi |{\varphi }_i⟩⟨{\varphi }_i|\varphi ⟩={\sum }_i{p}_i|⟨\varphi |{\varphi }_i⟩{|}^2\ge 0$

性质四：密度算符可以进行谱分解

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量子力学性质的密度算符描述

第一公设(态描述)

任意鼓励的物理系统与希尔伯特空间相关联。系统可以自由作用在状态空间的密度算符完全描述。密度算符是一个半正定、迹为$1$的算子$\rho$。如果系统以概率$p_i$处于状态${\rho }_i$，则系统的密度算子为${\sum }_i{p}_i{\rho }_i$

第二公设(态演化)

若系统在某时刻状态为$\rho$，经过一段时间变为${\rho }^{{}^{\prime }}$，则必有某幺正矩阵$U$，使得${\rho }^{{}^{\prime }}=U\rho U^{†}$

第三公设(测量公设)

若系统在测量前的状态是$\rho$，测量由算子$\{M_i\}$描述，其中$i$表示可能出现的测量结果，测量算子满足完备性关系${\sum }_i{M}_i^{†}{M}_i=I$，则测量得到$i$的概率为$p(i)=tr(M_i^{†}{M}_i\rho )$

第四公设(态空间扩展公设)

复合系统的状态空间是物理系统状态空间的张量积。若复合系统的子系统分别编号为$1$到$n$，每个子系统$i$处于态${\rho }_i$，则复合系统态为${\rho }_1\otimes {\rho }_2\otimes \cdots \otimes {\rho }_n$

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密度算符在描述量子力学方面与态矢量等价，但是在描述未知状态的量子系统和复合系统的子系统这两个方面上，具有较为突出的作用。

约化密度算子

约化密度算子是分析复合量子系统必不可少的工具。

定义：约化密度算子——假设有物理系统$A$和$B$，其状态由密度算子${\rho }^{AB}$描述，针对系统$A$和$B$的约化密度算子定义为：
${\rho }^A\equiv t{r}_B({\rho }^{AB}){\rho }^B\equiv t{r}_A({\rho }^{AB})$
其中$t{r}_B$是一个算子映射，称为在系统$B$上的偏迹。

定义：偏迹——数学定义如下：
$$\begin{gathered} {\rho }^B\equiv t{r}_A({\rho }^{AB})=t{r}_A(|a_1⟩⟨a_2|\otimes |b_1⟩⟨b_2|)=|b_1⟩⟨b_2|t{r}_A(|a_1⟩⟨a_2|)=|b_1⟩⟨b_2|⟨a_2|a_1⟩ \\ {\rho }^A\equiv t{r}_B({\rho }^{AB})=t{r}_B(|a_1⟩⟨a_2|\otimes |b_1⟩⟨b_2|)=|a_1⟩⟨a_2|t{r}_B(|b_1⟩⟨b_2|)=|a_1⟩⟨a_2|⟨b_2|b_1⟩ \end{gathered}$$一般来说，复合系统处于纯态，其子系统也可能为混合态。
例如$Bell$态是一个两量子比特系统纯态：$|{\psi }^{+}⟩=(\frac{1}{\sqrt{2}})(|0^{(1)}⟩|1^{(2)}⟩+|1^{(1)}⟩|0^{(2)}⟩)$
其密度算子为：
$$\begin{gathered} \rho =|{\psi }^{+}⟩⟨{\psi }^{+}|=\frac{1}{2}(|0^{(1)}⟩|1^{(2)}⟩⟨1^{(2)}|⟨0^{(1)}|+|0^{(1)}⟩|1^{(2)}⟩⟨0^{(2)}|⟨1^{(1)}|)+ \\ |1^{(1)}⟩|0^{(2)}⟩⟨1^{(2)}|⟨0^{(1)}|+|1^{(1)}⟩|0^{(2)}⟩⟨0^{(2)}|⟨1^{(1)}|)) \end{gathered}$$

描述量子比特$1$的密度算子为：

显然，该密度算子的平方迹小于$1$,且它表示的状态不能用一个态矢表示，是一个混合态。

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本周就到这里了哦！

总结

以上是生活随笔为你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记6的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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