常微分方程分类及求解

• 1. 基本概念
• • 1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)
  • 1.2. 常微分方程
  • 1.3. 解
  • 1.4. 通解
  • • 1.5. 通积分
  • 1.5. 阶
  • 1.6. 齐次
  • 1.7. 线性
  • 1.8. 定解条件
  • 1.9. 特解
  • 1.10. 显函数形式
  • 1.11. 隐函数形式
• 2. 求解方法
• • 2.1. 可分离变量型
  • 2.2. 齐次型
  • 2.3. 一阶齐次线性型
  • 2.4. 一阶非齐次线性型
  • 2.5. 可降阶型
  • 2.6. 二阶可降阶型（缺y）
  • 2.7. 二阶可降阶型（缺x）
  • 2.8. 二阶常系数齐次线性型
  • 2.9. 二阶常系数非齐次线性型
• 3. 解的性质
• • 3.1. 线性组成
  • 3.2. 线性无关
  • 3.3. 叠加原理

1. 基本概念

在学习常微分方程之前，我们先了解一些基本的概念；我们在中学的时候都学过解方程（如：$x^2+5=0$ ），不过那都是函数方程（ $f(x)=0$，即含有未知数 $x$ 的方程）。

因此，我们就引出了一个新的概念，什么是微分方程？

1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)

方程中含有未知函数的**导数（或称微分项）**的关系式，如：$$y^{\prime }+5y=3x(y=f(x))$$

因此，我们便可知道函数方程是关于未知数 $x$ 的，而微分方程是关于 $x$ 的导数或微分的。

1.2. 常微分方程

一个未知函数及其导数（或微分）的关系式，如：$$f^{\prime }(x)-7f(x)=0$$

这个“常” (Ordinary) 表示平常，也就是一般情况（理想情况）下的微分方程，这个方程只有一个未知函数；正因为如此，我们在尚未进行特殊说明的情况下，默认 D.E. 表示常微分方程。

1.3. 解

能使 D.E. 的关系式恒成立的函数，形如 $$y=f(x)$$

先回顾以下我们熟悉的函数方程，它的解是什么？是满足函数关系式的未知数，也就是 $x=C(C一般是常数)$；不难推出 D.E. 的解也要满足关系式，是长成 $y=f(x)$ 的样子。

1.4. 通解

带有常数 $C$ 的解，如：$$y=C_1{x}^2+C_2{e}^x(有两项)$$

1.5. 通积分

1.5. 阶

1.6. 齐次

1.7. 线性

1.8. 定解条件

1.9. 特解

1.10. 显函数形式

1.11. 隐函数形式

2. 求解方法

2.1. 可分离变量型

2.2. 齐次型

2.3. 一阶齐次线性型

$$y^{\prime }+p(x)y=0$$

方程组的形式为：
$$Ax=0$$

2.4. 一阶非齐次线性型

$$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$$

方程组的形式为：
$$Ax=b$$

2.5. 可降阶型

2.6. 二阶可降阶型（缺y）

2.7. 二阶可降阶型（缺x）

2.8. 二阶常系数齐次线性型

2.9. 二阶常系数非齐次线性型

3. 解的性质

3.1. 线性组成

3.2. 线性无关

3.3. 叠加原理

From: （回忆大学所学）常微分方程

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【数理知识】神仙文章（回忆大学所学）常微分方程的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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