【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第5章-矩阵微积分及其应用

上一章回到目录下一章

矩阵微积分及其应用

• • 5.1 向量序列和矩阵序列的极限
  • • 5.1.1 向量序列的极限
    • 5.1.2 矩阵序列的极限
  • 5.2 矩阵级数与矩阵函数
  • • 5.2.1 矩阵级数
    • 5.2.2 矩阵函数
  • 5.3 函数矩阵的微分和积分
  • • 5.3.1 函数矩阵对实变量的导数
    • • 定义 5.3.2 函数矩阵的导数定义
    • 5.3.2 函数矩阵特殊的导数
    • • 1. 数量函数对于向量的导数
      • 定义 5.3.3 数量函数 f(x) 对 x 的导数
      • 例 5.3.4
      • 例 5.3.5
      • 定义 5.3.4 数量函数 f(x) 对 A 的导数
      • 例 5.3.6
      • 2. 矩阵对于矩阵的导数
    • 5.3.3 矩阵的全微分
    • 5.3.4 函数矩阵的积分
  • 5.4 矩阵微分方程
  • • 5.4.1 常系数齐次线性微分方程组的解
    • • 定理 5.4.1
      • 定理 5.4.2
    • 5.4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解
    • 5.4.3 n 阶常系数微分方程的解

5.1 向量序列和矩阵序列的极限

5.1.1 向量序列的极限

5.1.2 矩阵序列的极限

5.2 矩阵级数与矩阵函数

5.2.1 矩阵级数

5.2.2 矩阵函数

5.3 函数矩阵的微分和积分

5.3.1 函数矩阵对实变量的导数

定义 5.3.2 函数矩阵的导数定义

设 $A(t)=(a_{ij}(t){)}_{m\times n}$，若 $a_{ij}(t)(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$ 在 $t=t_0$ 处（或[a, b]上）可导，则称 $A(t)$ 在 $t=t_0$ 处（或[a, b]上）可导，记为
$$\begin{array}{rl}{A}^{\prime }(t_0)& =\frac{dA(t)}{dt}{|}_{t=t_0}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{A(t_0+\Delta t)-A(t_0)}{\Delta t}\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}^{\prime }(t_0)& a_{12}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{1n}^{\prime }(t_0)\\ a_{21}^{\prime }(t_0)& a_{22}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{2n}^{\prime }(t_0)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}^{\prime }(t_0)& a_{m2}^{\prime }(t_0)& \dots & a_{mn}^{\prime }(t_0)\end{array}\right]\end{array}$$

不难证明函数矩阵的导数运算有下列性质：
（1）$A(t)$ 为常数矩阵的充要条件是 $A^{\prime }(t)=0$；
（2）设 $A(t)=(a_{ij}(t){)}_{m\times n}$ 和 $B(t)=(b_{ij}(t){)}_{m\times n}$ 可导，则$$\frac{d}{d(t)}(A(t)\pm B(t))=A^{\prime }(t)\pm B^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.1)}$$

（3）若 $k(t)$ 是可导的实函数，$A(t)$ 可导，则
$$\frac{d}{d(t)}(k(t)A(t))=k^{\prime }(t)A(t)+k(t)A^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.2)}$$

（4）设 $A(t)$ 和 $B(t)$ 都可导，则
$$\frac{d}{d(t)}(A(t)B(t))=A^{\prime }(t)B(t)+A(t)B^{\prime }(t)\text{\hspace{1em}(5.3.3)}$$

（5）若 $A(t)$ 与 $A^{-1}(t)$ 都有导数，则
$$\frac{d{A}^{-1}(t)}{dt}=-A^{-1}(t)A^{\prime }(t)A^{-1}(t)\text{\hspace{1em}(5.3.4)}$$

（6）设函数矩阵 $A(t)$ 是 $t$ 的函数，而 $t=f(x)$ 是 $x$ 的实值函数，且 $A(t)$ 与 $f(x)$ 均可导，则有
$$\frac{dA(t)}{dx}=\frac{dA(t)}{dt}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\frac{dA(t)}{dt}\text{\hspace{1em}(5.3.5)}$$

补充性质：不论 $A$ 是任何常量方阵，总有
（1）$$\frac{d}{dt}{e}^{At}=A{e}^{At}=e^{At}A\text{\hspace{1em}(5.3.6)}$$

此条性质可联想 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ 记忆

（2）$$\frac{d}{dt}\cos At=-A(\sin At)=-(\sin At)A\text{\hspace{1em}(5.3.7)}$$

此条性质可联想 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ 记忆

（3）$$\frac{d}{dt}\sin At=A(\cos At)=(\cos At)A\text{\hspace{1em}(5.3.8)}$$

此条性质可联想 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ 记忆

5.3.2 函数矩阵特殊的导数

1. 数量函数对于向量的导数

在场论中，我们对数量函数 $f(x,y,z)$ 定义梯度为
$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}f=\Delta f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$$

这可以理解为数量函数 $f(x,y,z)$ 对向量 $(x,y,z)$ 的导数。

定义 5.3.3 数量函数 f(x) 对 x 的导数

设 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^T$，$f(x)=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是以向量 $x$ 为自变量的数量函数，即为 $n$ 元函数，则规定数量函数 $f(x)$ 对于向量 $x$ 的导数为
$$\frac{df}{dx}=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}{)}^T\text{\hspace{1em}(5.3.10)}$$

例 5.3.4

数量函数 $f(x)=x^{T}Ax$ 对于向量 $x$ 的导数为
$$\frac{df}{dt}=(A+A^T)x=Ax+A^{T}x\text{\hspace{1em}(5.3.11)}$$
其中， $A(t)=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 为常量矩阵，$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。

有特例如下：
（1）当 $A$ 是实对称矩阵时，二次型 $x^{T}Ax$ 对 $x$ 的导数为
$$\frac{d{x}^{T}Ax}{dx}=2Ax\text{\hspace{1em}(5.3.12)}$$

（2）当 $A=I$ 时，函数 $f(x)=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2$ 对 $x$ 的导数为
$$\frac{df(x)}{dx}=2x\text{\hspace{1em}(5.3.13)}$$

例 5.3.5

令 $x=({\xi }_1(t),{\xi }_2(t),\cdots ,{\xi }_n(t){)}^T$，$f(x)=({\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n)$。则有
$$\frac{df}{dt}=(\frac{df}{df}{)}^T\frac{dx}{dt}\text{\hspace{1em}(5.3.14)}$$

定义 5.3.4 数量函数 f(x) 对 A 的导数

设 $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$，$f(A)$ 为矩阵 $A$ 的数量函数，即看成是 $m\times n$ 元函数，则规定数量函数 $f(A)$ 对于矩阵 $A$ 的导数为
$$\frac{df}{dA}=(\frac{\partial f}{\partial a_{ij}}{)}_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial a_{11}}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial a_{1n}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial a_{n1}}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial a_{nn}}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5.3.15)}$$

例 5.3.6

二次型 $x^{T}Ax$ 对矩阵 $A$ 的导数，其中 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 是实对称的，那么有
$$\frac{d}{dA}(x^{T}Ax)=(\frac{\partial f}{\partial a_{ij}}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j)=(x_i{x}_j{)}_{n\times n}=x{x}^T$$

2. 矩阵对于矩阵的导数

5.3.3 矩阵的全微分

5.3.4 函数矩阵的积分

5.4 矩阵微分方程

5.4.1 常系数齐次线性微分方程组的解

定理 5.4.1

一阶线性常系数微分方程组的定解问题
$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)\\ & x(0)=(x_1(0),x_2(0),\cdots ,x_n(0){)}^T\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.3)}$$

有唯一解 $$x=e^{At}x(0)$$

同理有
$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)\\ & x{|}_{t=t_0}=x(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.4)}$$

有唯一解 $$x=e^{A(t-t_0)}x(t_0)$$

定理 5.4.2

$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dX}{dt}=AX(t)\\ & X(t){|}_{t=t_0}=X(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.5)}$$

若未知函数 $X(t)$ 不是列向量，而是 $n\times m$ 矩阵，$X(t_0)$ 是 $n\times m$ 常数矩阵，$A$ 是给定的 $n$ 阶常数方阵，则有唯一解为
$$X(t)=e^{A(t-t_0)}X(t_0)$$

且解 $X(t)$ 的秩与 $t$ 的取值无关。

5.4.2 常系数非齐次线性微分方程组的解

$$\{\begin{array}{rl}& \frac{dx}{dt}=Ax(t)+f(t)\\ & x{|}_{t=t_0}=x(t_0)\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.6)}$$

有唯一解 $$x=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}f(\tau )d\tau$$

5.4.3 n 阶常系数微分方程的解

上一章回到目录下一章

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【数理知识】《矩阵论》方保镕老师-第5章-矩阵微积分及其应用的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。