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第1章-引论-《随机过程》方兆本

• 第1章-引论
• • 1.1 引言
  • • 1.1.1 基本概念和例子
    • • • 定义1.1
    • 1.1.2 有限维分布和数字特征
    • 1.1.3 平稳过程和独立增量过程
    • • • 定义1.2 严格平稳
        • 定义1.3 宽平稳或二阶矩平稳
        • 定义1.4 独立增量过程 / 平稳独立增量过程
  • 1.2 条件期望和矩母函数
  • • 1.2.1 条件期望
    • 1.2.2 矩母函数及生成函数
    • • • 定义1.5 矩母函数
        • 定义1.6 概率生成函数
  • 1.3 收敛性
  • • • • 定义1.7 依概率收敛 / 几乎必然收敛
        • 定义1.8 均方收敛

第1章-引论

1.1 引言

1.1.1 基本概念和例子

定义1.1

1.1.2 有限维分布和数字特征

1.1.3 平稳过程和独立增量过程

定义1.2 严格平稳

如果随机过程 $X(t)$ 对任意的 $t_1,\cdots ,t_n\in T$ 和任何 $h$ 有
$$(X(t_1+h),\cdots ,X(t_n+h))\stackrel{d}{=}(X(t_1),\cdots ,X(t_n)),\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

则称为严格平稳的。

定义1.3 宽平稳或二阶矩平稳

如果随机过程的所有二阶矩存在并有 $EX(t)=m$ 及协方差函数 $R_X(t,s)$ 只与时间差 $t-s$ 有关，则称为宽平稳的或二阶矩平稳的。

二阶矩
数学上，“矩”是一组点组成的模型的特定的数量测度。
在力学和统计学中都有用到“矩”。
如果这些点代表“质量”，那么：
零阶矩表示所有点的 质量；一阶矩表示 质心；二阶矩表示 转动惯量。
如果这些点代表“概率密度”，那么：
零阶矩表示这些点的 总概率（也就是1）；一阶矩表示 期望；二阶（中心）矩表示 方差；三阶（中心）矩表示 偏斜度；四阶（中心）矩表示 峰度；
这个数学上的概念和物理上的“矩”的概念关系密切。

定义1.4 独立增量过程 / 平稳独立增量过程

1.2 条件期望和矩母函数

1.2.1 条件期望

1.2.2 矩母函数及生成函数

定义1.5 矩母函数

随机变量 $X$ 的矩母函数定义为随机变量 $\exp \{tX\}$ 的期望，记作 $g(t)$，即
$$g(t)=E(\exp \{tX\})=\int \exp \{tX\}dF(x)\text{\hspace{1em}(1.17)}$$

对相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，它们和的矩母函数就等于其矩母函数的积：
$$g_{X+Y}(t)=g_X(t)\cdot g_Y(t)\text{\hspace{1em}(1.19)}$$

定义1.6 概率生成函数

1.3 收敛性

定义1.7 依概率收敛 / 几乎必然收敛

定义1.8 均方收敛

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【数理知识】《随机过程》方兆本老师-第1章-引论的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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