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编程问答

3.1 关于半鞅的随机积分（Ren）

发布时间：2025/4/5 编程问答 49 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 3.1 关于半鞅的随机积分（Ren） 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

3.1 关于半鞅的随机积分（Ren）

若X=M+AX=M+AX=M+A,其中M∈Mloc,A∈VM \in M^ {loc} ,A \in VM∈Mloc,A∈V,HHH为可选过程,则定义过程Y:=H⋅XY:=H \cdot XY:=H⋅X为
Yt:=(H⋅X)t:=∫0tHsdXs:=∫0tHsdMs+∫0tHsdAsY_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s} Yt​:=(H⋅X)t​:=∫0t​Hs​dXs​:=∫0t​Hs​dMs​+∫0t​Hs​dAs​
如果右边的两个积分都存在的话.

关于半鞅的随机积分=关于有界变差的随机积分+关于局部鞅的随机积分

1. 随机Stieltjes积分（关于有界变差的随机积分）

随机Stieltjes积分：把ω\omegaω当作参数，固定ω\omegaω后做Lebsgue-Stieltjes积分

1.1 有限变差过程

  • 有限变差过程&增过程的定义
  • 有限变差过程是两个增过程之差

1.2 随机Stieltjes积分

随机Stieltjes积分定义：由测度论, ∀ω\forall \omega∀ω ,A(,ω)A(, \omega )A(,ω)产生一个Lebesgue-Stieltjes测度μA(ω)\mu _ {A(\omega )}μA(ω)​。对任意非负过程HHH，只要∀ω,t→f(t,ω)\forall \omega ,t\rightarrow f(t, \omega )∀ω,t→f(t,ω)为Borel可测，就可逐ω\omegaω定义
∫0tfsdAs:=∫0tfsμA(ds)\int _ {0}^ {t} f_ {s} dA_ {s} := \int _ {0}^ {t} f_ {s} \mu _ {A} (ds) ∫0t​fs​dAs​:=∫0t​fs​μA​(ds)
因为 μA\mu _ {A}μA​ 在单点集上的负荷为零,所以这里 ∫0t\int _ {0}^ {t}∫0t​ 理解为 ∫[0,T)\int _ {[0,T)}∫[0,T)​ 还是 ∫[0,T]\int _ {[0,T]}∫[0,T]​是无所谓的。这个过程记为H⋅AH \cdot AH⋅A.

2. 关于局部鞅的随机积分

之所以可以定义循序可测过程对Brown运动的随机积分, 关键是其保范性质, 而这个保范性质的建立, 是建立的Brown运动具有独立增量的基础之上的.但仔细检查一下证明,那里真正需要的其实并不是“独立增量”这么强的性质, 而只要 w2−tw^ {2}-tw2−t 为鞅就足够了。这就给推广随机积分带来了希望, 因为对一般的平方可积鞅MMM，M2−[M]M^ {2}-[M]M2−[M] 也是鞅.

基本思路：

  • 简单过程关于鞅的随机积分的定义，简单过程关于鞅的随机积分是线性的，是关于t是连续的平方可积鞅，具有等距性E[I(f)2]=E∫0T[f2(t)]dtE[I(f)^2]=E\int_0^T[f^2(t)]dtE[I(f)2]=E∫0T​[f2(t)]dt（线性等距算子）;
  • 简单过程构成的空间在可积函数构成的空间L2\mathscr{L}_2L2​中是稠密的
  • 根据1和2可得：可积过程L2\mathscr{L}_2L2​关于鞅随机积分在L2L^2L2意义下有定义
  • 关于局部鞅的随机积分
  • 简单过程关于鞅的随机积分的定义，简单过程关于鞅的随机积分是线性的，是关于t是连续的平方可积鞅，具有等距性E[I(f)2]=E∫0T[f2(t)]dtE[I(f)^2]=E\int_0^T[f^2(t)]dtE[I(f)2]=E∫0T​[f2(t)]dt（线性等距算子）
    • 简单过程关于鞅的随机积分的定义
    • 简单过程关于鞅的随机积分具有等距性

    2.简单过程构成的空间在可积函数构成的空间L2\mathscr{L}_2L2​中是稠密的

    • 可积函数类L2\mathscr{L}_2L2​
    • L=L2(μM)\mathscr{L}=L^2(\mu_M)L=L2(μM​)
    • 简单过程构成的空间在L\mathscr{L}L中是稠密的



  • 根据1和2可得：可积过程L\mathscr{L}L关于鞅随机积分在L2L^2L2意义下有定义
    • 可积过程L\mathscr{L}L关于鞅的随机积分
    • 可积过程L\mathscr{L}L关于鞅的随机积分的性质：平方变差&局部性
  • 由第二个性质可得识别随机积分的方法
  • 由命题7.4.3可得
  • 随机积分的估计
  • 关于局部鞅的随机积分

    • 设M∈M2loc,σnM \in \mathscr{M}_ {2}^ {loc} ,{ \sigma _ {n} }M∈M2loc​,σn​ 为其局部化停时列.令
    [M]t:=[Mσn]t,(t,ω)∈[0,σn][M]_ {t} :=[ M^{\sigma_n}]_t,(t, \omega ) \in [0,\sigma _ {n}] [M]t​:=[Mσn​]t​,(t,ω)∈[0,σn​]
    以及
    L2loc(M):={H:∫0TH2d[M]t<∞,as}\mathscr{L}^{loc}_ {2}(M):=\{H: \int _ {0}^ {T} H^ {2}d [M]_{t} < \infty, as\} L2loc​(M):={H:∫0T​H2d[M]t​<∞,as}
    则 ∀H∈L2loc\forall H \in \mathscr{L}^{loc}_ {2}∀H∈L2loc​ ,存在局部化停时列{τn}\{ \tau_ {n} \}{τn​}使得
    E[∫0τnH2d[M]]<∞,∀nE[ \int _ {0}^ {\tau_n} H^ {2} d[M]]< \infty , \forall n E[∫0τn​​H2d[M]]<∞,∀n
    令
    Mn:=Mσn,Hn(t,ω):=H1[0,n+1].M_ {n}:= M^{\sigma_n}, H_ {n} (t,\omega ):=H1_ {[0,n+1]}. Mn​:=Mσn​,Hn​(t,ω):=H1[0,n+1]​.
    在$[0, \sigma _ {n} \wedge \tau _ {n} ] $上,令
    M(t):=Hn⋅MnM(t):= H_ {n} \cdot M_ {n} M(t):=Hn​⋅Mn​
    易证这个定义是没有歧义的.H⋅MH\cdot MH⋅M称为HHH对MMM的随机积分.
    我们也常常将$H \cdot M $写成积分的形式,即
    H⋅M(t)=∫0tHsdMsH \cdot M(t)= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} H⋅M(t)=∫0t​Hs​dMs​
    利用局部化停时列过渡, 关于鞅的随机积分除了要取期望的之外, 均可以推广到
    关于局部鞅的随机积分。

    3. 关于半鞅的随机积分

    3.1 关于半鞅的随机积分

    若X=M+AX=M+AX=M+A,其中M∈Mloc,A∈VM \in M^ {loc} ,A \in VM∈Mloc,A∈V,HHH为可选过程,则定义过程Y:=H⋅XY:=H \cdot XY:=H⋅X为
    Yt:=(H⋅X)t:=∫0tHsdXs:=∫0tHsdMs+∫0tHsdAsY_ {t} :=(H \cdot X)_t:= \int _ {0}^ {t} H_ {s} dX_ {s} := \int _ {0}^ {t} H_ {s} dM_ {s} + \int _ {0}^ {t} H_ {s} dA_ {s} Yt​:=(H⋅X)t​:=∫0t​Hs​dXs​:=∫0t​Hs​dMs​+∫0t​Hs​dAs​
    如果右边的两个积分都存在的话.

  • 右边的两个积分都存在的条件：这两个积分存在的条件下不相同, 所以要提出一个公共的条件使它们都存在是比较麻烦的, 但有一些简单的充分条件保证它们都存在, 比如说H是连续过程时就是如此.
  • 由于这两部分性质差异较大, 把它们分开看待而不是看作一个整体往往更方便一些。

    • 3.2 半鞅的随机微分

    • 半鞅的随机微分定义

    • 半鞅的随机微分满足的条件

    • 由命题7.4.3可得命题7.6.1


    总结

    以上是生活随笔为你收集整理的3.1 关于半鞅的随机积分（Ren）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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