用径向函数和球谐函数计算氢原子能级并验证维里定理

用分离变量法把波函数

分离成径向部分和角度部分

径向函数Rnl为

球谐函数Ylm为

由此计算氢原子n=1，2，3时的能级

其中z是核电荷数代入1.a0是波尔半径，用原子单位表示代入1，

拉普拉斯算符为

代入Ψ可得到

 

动能和势能比为-1/2符合维里定理。

 

Ψ3，2，0的python代码为
 

import sympy import math from sympy import symbols, cancela = sympy.Symbol('a') e = sympy.Symbol('e') m = sympy.Symbol('m') h = sympy.Symbol('h') l = sympy.Symbol('l') r = sympy.Symbol('r') EE = sympy.Symbol('EE')x = sympy.Symbol('x') y = sympy.Symbol('y') z = sympy.Symbol('z')θ= sympy.Symbol('θ') Ψ= sympy.Symbol('Ψ') Φ= sympy.Symbol('Φ') pi=sympy.Symbol('pi') E=sympy.Symbol('E') I=sympy.Symbol('I') sin=sympy.Symbol('sin') cos=sympy.Symbol('cos') diff=sympy.Symbol('diff') integrate=sympy.Symbol(' integrate')pi=sympy.pi E=sympy.E sin=sympy.sin cos=sympy.cos diff=sympy.diff integrate=sympy.integratefx=(2)**(1.5)* 1/(81*15**0.5) *r**2*sympy.exp(-r/3)* ( 5/(16*pi))**0.5*(3*cos(θ)*cos(θ) -1)f1=( 1/(r*r) ) *diff ( ( r*r*diff(fx,r)) ,r)f2=( 1/(r*r*sin(θ)) ) * diff( ( sin(θ)*diff(fx,θ) ) ,θ)f3=( 1/(r*r*sin(θ)*sin(θ) ) )* diff(fx,Φ,Φ)f8=(-1/2)*(f1+f2+f3)*fx#print ( f1 ) #print ( f2 ) #print ( f3 )print ( f8 )#球坐标积分 f9=( integrate( ( integrate( integrate( f8*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f9 )f10=fx*(-1/r)*fxf11=( integrate( ( integrate( integrate( f10*r*r*sin(θ) , (r ,0 , float('inf') ) ) , (θ, 0 , pi ) ) ) , (Φ,0,2*pi) ) )print ( f11 )print ( f9+f11 )

 

总结

以上是生活随笔为你收集整理的用径向函数和球谐函数计算氢原子能级并验证维里定理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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