UA MATH565C 随机微分方程I SDE的定义与例子

• 随机微分方程的定义
• • 白噪声过程
  • SDE的一般形式
• 例子：Ornstein-Uhlenbeck过程

随机微分方程的定义

经典力学中描述一个确定性系统的演化过程通常可以用微分方程，比如ODE
$$\frac{dx}{dt}=b(x),x(0)=x_0,x,b(x)\in {\mathbb{R}}^n$$
但统计物理中系统都不会是确定性的，因此一般需要给这个ODE加一个噪声，假设噪声项是$\sigma (x){\eta }_t$，则
$$\frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t$$
通常称$b(x)$为漂移项，$\sigma (x)$为噪声的强度，${\eta }_t$是白噪声。为了让这个定义有意义，需要定义一下白噪声。

白噪声过程

白噪声${\eta }_t$是一个随机过程，假设概率空间为$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，假设$t\in \mathcal{T}=[0,+\infty )$，则${\eta }_t$可以看成映射：
$${\eta }_t:(\Omega \times \mathcal{T},\mathcal{F}\otimes \mathcal{B}(\mathcal{T}),P\otimes \lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
其中$\mathcal{B}(\mathcal{T})$是$\mathcal{T}$生成的Borel $\sigma$代数，$\lambda$是可测空间$(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T})$上的Lebesgue测度。${\eta }_t$满足下面三条公理化定义：

$E{\eta }_t=0,\forall t\in \mathcal{T}$

$E{\eta }_t{\eta }_s={\sigma }^2{\delta }_{ts},\forall t,s\in \mathcal{T},{\sigma }^2<+\infty$

高斯过程

但这个定义有一个缺点，即满足这个定义的随机过程路径函数不可测。给定$w\in \Omega$，${\eta }_t(w)$是一个确定性的映射：
$${\eta }_t(w):(\mathcal{T},\mathcal{B}(\mathcal{T}),\lambda )\to ({\mathbb{R}}^m,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m))$$
这个叫路径函数（path function）或者叫这个随机过程的一个实现（realization）。
定理1 白噪声过程的路径函数不可测。
证明的时候考虑更一般的白噪声，即去掉假设3，正式的叙述为：

以及给一个我自己写的比较简陋的证明：

更完整的叙述可以看Oksendal的Stochastic Differential Equation的第二章。

为了让它的路径函数可测，通常将定义2修正为：

$E{\eta }_t{\eta }_s={\delta }_{ts}$

根据上面1、2、3定义的随机过程${\eta }_t$就是白噪声过程（更准确地，高斯白噪声）。

SDE的一般形式

现在重新考虑
$$\begin{gathered} \frac{d{x}_t}{dt}=b(x_t)+\sigma (x_t){\eta }_t \\ \iff d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t){\eta }_{t}dt \end{gathered}$$
对于${\eta }_{t}dt$，假设它是某个随机过程$W_t$的全微分，即
$$d{W}_t={\eta }_{t}dt\iff W_t={\int }_0^t{\eta }_{s}ds$$
积分的本质就是部分和的极限，这些运算保证$W_t$也是一个高斯过程。事实上我们一般称$W_t$为Wiener过程或者Brown运动，下一讲会正式定义Wiener过程。有了这个定义后，可以写出SDE的一般形式：
$$d{x}_t=b(x_t)dt+\sigma (x_t)d{W}_t$$
已知初值的情况下，可以写出这个式子的积分：
$$x_t=x_0+{\int }_0^{t}b(x_s)ds+{\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
搞清楚了右边这两个积分，我们就可以找到SDE的解了。第一个积分是
$${\int }_0^{t}b(x_s)ds$$
可以看成是对$b(x_s)$的每一个路径函数积分，这个就是实分析的内容不用多讨论；第二个积分是
$${\int }_0^t\sigma (x_s)d{W}_s$$
一般称其为Ito积分，下下讲会给出Ito积分的正式定义。Ito随机分析框架的目标就是求解上面的定义的SDE。

一个更一般的观点是并不给定${\eta }_t$的具体形式，把SDE看成是随机过程${\eta }_t$到随机过程$x_t$的变换。

例子：Ornstein-Uhlenbeck过程

考虑用如下SDE定义的初值为$x_0$的随机过程$x_t$：
$$d{x}_t=-k{x}_{t}dt+ϵd{W}_t,k,ϵ>0$$
现在还没有讲过SDE的解法，所以先直观地思考一下这个方程。首先我们发现，$ϵd{W}_t$是时间$dt$内的噪声项，排除掉噪声，原始的系统是
$$dx=-kxdt$$
这个系统的解就是$x(t)=x_0{e}^{-kt}$，一般用来描述衰变等过程，这个解换个写法就是$x(t)e^{kt}=const.$，也就是$d(x(t)e^{kt})=0$。我们可以根据SDE试图计算一下$d(x_t{e}^{kt})$：
$$\begin{gathered} d(x_t{e}^{kt})=e^{kt}d{x}_t+d(e^{kt})x_t \\ =e^{kt}(-k{x}_{t}dt+ϵd{W}_t)+k{e}^{kt}{x}_{t}dt=ϵe^{kt}d{W}_t \end{gathered}$$
也就是说随机过程$x_t{e}^{kt}$的全微分只含有噪声项，求积分：
$$\begin{gathered} x_t{e}^{kt}=x_0+ϵ{\int }_0^t{e}^{ks}d{W}_s \\ \iff x_t=x_0{e}^{-kt}+ϵ{\int }_0^t{e}^{-k(t-s)}d{W}_s \end{gathered}$$
这个就是上面那个SDE的解。这个包含一个确定项和一个随机过程，确定项正好是不考虑噪声的ODE的解。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程I SDE的定义与例子的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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