UA MATH565C 随机微分方程V 算子半群理论简介

• Banach空间中的算子半群
• • Hille-Yosida定理
  • Shift Operator

上一讲提到Homogeneous Markov Family上的算子$P^t$是概率空间的算子半群。这一讲简单介绍一下算子半群理论。

Banach空间中的算子半群

假设$E$是Banach空间，这一讲我们考虑定义在紧度量空间的连续函数的集合与supnorm构成的Banach空间，假设$P^t,t\ge 0$是这个Banach空间上的线性算子，如果：

$P^0=I$

$||P^t||\le 1$

$P^{t+s}=P^t{P}^s$

(Strong Continuity)：$\forall f\in E$, ${\lim }_{t\to 0}||P^{t}f-f||=0$

满足上面的条件3一般就称$P^t$是$E$上的算子半群，但一般对于参数空间$\{t:t\ge 0\}$的算子，会加上条件1，条件2来源于上一讲的推导，在概率论的语境下应该用1作为上界。条件4是一个技术性假设，使用之后的定理之前，我们总是需要验证条件4是否成立，满足条件4的算子半群被称为强连续性算子半群。

假设$A$表示强连续性算子半群$P^t$的无穷小生成元，则
$$P^t=e^{tA}$$
SDE中我们希望能有这个表示，所以需要算子半群$P^t$的强连续性。定义$A$的定义域为$D(A)$
$$D(A)=\{f\in E:\exists \underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f-f}{t}\}$$
算子$A$的作用是
$$Af=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f-f}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{P^{t}f-P^{0}f}{t-0}$$
从后面这个等式看出，$A$的作用可以类似看作计算$P^t$在$t=0$处的导数。下面的定理给出了一个线性算子成为算子半群的无穷小生成元的条件：

Hille-Yosida定理

假设Banach空间$E$上有强连续性算子半群$P^t$，$E$上的线性算子$A$成为$P^t$的无穷小生成元的充要条件：

$D(A)$在$E$上是个稠密集；

$\forall \lambda$，$(\lambda I-A{)}^{-1}$也是$E$上的线性算子；

$||(\lambda I-A{)}^{-1}||\le \frac{1}{\lambda }$

条件1要求$A$能对$E$中很多元素做运算；条件3当$\lambda$越来越接近0时，对那个算子范数的约束越来越大，因为$\lambda$靠近1以后算子趋近$A^{-1}$，相当于无穷小的逆。条件2的意思是$\exists !f\in E$, $\forall F\in E$,
$$(\lambda I-A{)}^{-1}F=f\Rightarrow \lambda f-Af=F$$

因为Homogeneous Markov Family的算子是作用在随机变量和随机过程上的 ，所以应用算子半群的时候还要加上两个条件，假设$E$是有界可测函数的集合：

$P^t$具有非负保号性的充要条件是$(\lambda I-A{)}^{-1}$有非负保号性；

$1\in D(A),A1=0$等价于$P^{t}1=1$

事实上条件2到4可以用下面两个条件来替换：

'$\exists f\in E$, $\forall F\in E$, $\lambda f-Af=F$

’ Maximum Principle: 如果$f\in D(A)$有一个全局最大值点$x$，则$Af(x)\le 0$

Shift Operator

这个算子是定义在状态空间$\Omega$上的，定义
$$\begin{gathered} \theta :\Omega \to \Omega \\ {\theta }_{h}w=w_h^{+},\forall w\in \Omega \end{gathered}$$
其中
$${\xi }_t(w_h^{+})={\xi }_{t+h}(w)$$

假设这个算子也可以作用在定义在$\Omega$的随机变量$\eta$上：
$${\theta }_h\eta (w)=\eta ({\theta }_{h}w)$$
比如
$${\theta }_h{\xi }_t={\xi }_{t+h}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH565C 随机微分方程V 算子半群理论简介的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。