UA MATH565C 随机微分方程VI 扩散过程简介

• Kolmogorov定理

称具有路径连续的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$是一个diffusion，如果$C^2\subset D_A,\forall f\in C^2$，
$$Af(x)=\frac{1}{2}\sum a^{ij}(x)\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^i\partial x^j}+\sum b^j(x)\frac{\partial f(x)}{\partial x^j}=Lf(x)$$
其中$a^{ij},b^j$是连续函数。算子$L$被称为generator，它与$A$在$C^2$上相等，这个结论由Kolmogorov给出。

Kolmogorov定理

记$U_{ϵ}(x)$是$x$的邻域，$V_{ϵ}(x)$是$U_{ϵ}$的补集，$\forall epsilon>0$，如果下面三个条件在$\Omega$上一致成立，则$C^2\subset D_A,\forall f\in C^2,Af=Lf$：当$t\to 0$时，

$P(t,x,V_{ϵ}(x))=o(t)$

${\int }_{U_{ϵ}(x)}(y^i-x^i)P(t,x,dy)=b^i(x)t+o(t)$

${\int }_{U_{ϵ}(x)}(y^i-x^i)(y^j-x^j)P(t,x,dy)=a^{ij}(x)t+o(t)$

条件一说明具有路径连续的Markov Family $({\xi }_t,P_x)$的存在性（Dynkin-Kinney定理）。

证明 （思路）
考虑$f\in C^2$的二阶展开：
$$f(y)=f(x)+\sum \frac{\partial f(x)}{\partial x^j}(y^j-x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^i\partial x^j}(y^i-x^i)(y^j-x^j)+\alpha |x-y{|}^2$$
其中$|\alpha (x,y)|$有界，$|y-x|<ϵ,\forall ϵ$，对于$P^{t}f(x)=\int f(y)P(t,x,dy)$，计算
$$P^{t}f(x)-f(x)={\int }_{U_{ϵ}(x)}[\sum \frac{\partial f(x)}{\partial x^j}(y^j-x^j)+\frac{1}{2}\sum \frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^i\partial x^j}(y^i-x^i)(y^j-x^j)]P(t,x,dy)+o(t)$$
右边的式子就是$Lf+o(t)$。这里的领域可以理解成$\delta (y-x)$不为零的区域，所以对状态空间$\Omega$求积分就等于对领域求积分，误差项$\alpha |x-y{|}^2$是有界的，所以积分之后误差项就成了$o(t)$。

总结

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