UA MATH571A R语言回归分析实践 一元回归2 NBA球员的工资

• 方差分析
• 相关性分析

上一讲完成了解释NBA球员工资的一个简单的一元线性回归模型的估计、分析，展示了一下简单的预测，这一讲我们的问题是一元线性回归模型够好了吗？上一讲做出来的结果所反映的主要的问题是系数是显著不为0的（非常小的p值），但模型的解释力不高（只有18%多一点的解释力）。这一讲我们希望先验证一下球员Draft Number和工资之间的负向关系是不是真的存在，如果真的存在的话，我们希望解释为什么名次对工资的解释力会很低，是因为数据并非线性关系还是正态假设不成立？

方差分析

首先我们用方差分析看看工资的信息都到哪里去了，对回归用ANOVA分析我们只需要用R语言的anova函数输入模型对象就可以了，

> anova(ureg01.lm) Analysis of Variance TableResponse: YDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) X 1 6.0811e+15 6.0811e+15 150.12 < 2.2e-16 *** Residuals 649 2.6290e+16 4.0508e+13 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

我们这个回归模型解释变量是X，它占一个自由度，一共651个样本，也就是650个自由度，所以残差占649个自由度，这是第一列df告诉我们的信息。第二列是平方和的分解，第一个数是回归平方和，第二个数是残差平方和，平方和也可以理解成被解释变量，也就是球员工资的信息，很显然在这个一元线性回归中，解释变量X能解释的信息比残差中的信息少一个数量级，大部分信息模型都解释不了，都在残差中了。第三列就是第二列除以对应的第一列，是自由度调整以后的平方和，第四列是F统计量，这个F统计量就是上一讲回归结果中最后那一行的F统计量，只是ANOVA给出了这个统计量的计算细节，它等于第三列的第一个数除以第二个数。最后一列是F统计量的p值。方差分析的结果是对R方告诉我们的信息，即名次对工资的解释力不足的更细致的说明。

相关性分析

相关性分析与回归的逻辑不一样，相关性分析把两个变量都看成随机变量，分析他们的相关性系数。

> alpha <- .05 > N <- length(Y) > r12 <- cor(X,Y) > r12 [1] -0.4334236 > t <- r12*sqrt(N-2)/sqrt(1-r12^2) > t [1] -12.25232 > t < -qt(1-alpha/2,N-2) [1] TRUE > p <- pt(t,N-2) > p [1] 1.70131e-31

先用PPMCC来分析，第一行定义显著性水平，r12给出了相关性系数的值是-0.4334236，这说明名次和工资之间的确是存在负相关的，这个相关性系数的t统计量是-12.25232，它比5%的显著性水平要求的判别值更小，并且p值非常的小，说明我们可以拒绝这个t检验的原假设，认同相关性系数是显著异于0的。但PPMCC有一个缺陷，他需要正态分布假设，我们尚且对残差是否是正态的存疑，这里又用需要正态假设的检验显然不太合理。因此一个更好的选择是Spearman秩相关检验，这个检验不需要某种具体的分布形式，所以得出的结果会比PPMCC更合理。在R语言中，用cor.test，选择method为spearman就可以做这个检验：

> cor.test(X,Y,method = "spearman",exact = F)Spearman's rank correlation rhodata: X and Y S = 72838840, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true rho is not equal to 0 sample estimates:rho -0.5840626

S是Spearman秩相关检验的统计量，对应的p值是非常小的，所以可以拒绝相关性为0的原假设，认同名次与工资之间存在相关性，最后一个数-0.5840626告诉我们他们之间的相关性为负。这两个检验进一步说明了名次和工资之间是存在相关性的，之所以模型解释力不足可能是模型假设不成立或者模型设定不合理。

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总结

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