UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3

• 次序统计量常用公式
• 答案

次序统计量常用公式

定理1（单个次序统计量的分布）
$$F_{X_{(j)}}=\sum _{k=j}^n{C}_n^k[F(x){]}^k[1-F(x){]}^{n-k}$$
定理2（单个次序统计量的概率密度）
$$f_{X_{(j)}}(x)=j{C}_n^j[F(x){]}^{j-1}[1-F(x){]}^{n-j}f(x)$$
定理3（两个次序统计量的联合概率密度）不妨假设$j>i$，则
$$f_{X_{(i)},X_{(j)}}(x_i,x_j)=\frac{n!}{(i-1)!(j-i-1)!(n-j)!}f(x_i)f(x_j)[F(x_i){]}^{i-1}[F(x_j)-F(x_i){]}^{j-i-1}[1-F(x_j){]}^{n-j}$$
定理4（所有次序统计量的联合概率密度）
$$f(x_{(1)},\cdots ,x_{(n)})=n!f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)$$

答案

例3 如果$X_1,\cdots ,X_n$独立同分布，并记其概率密度为$f(x)$，定义$R=X_{(n)}-X_{(1)},V=(X_{(n)}+X_{(1)})/2$，如果总体为均匀分布$U(0,\theta )$，计算条件密度$V|R=r$。
先根据定理3计算$X_{(1)}$与$X_{(n)}$的联合概率密度，
$$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_1,x_n)=\frac{n!}{(n-2)!}f(x_1)f(x_n)[F(x_n)-F(x_1){]}^{n-2}$$
因为
$$X_{(1)}=(2V-R)/2,X_{(n)}=(2V+R)/2$$
计算Jacobi行列式（的绝对值），
$$J(R,V)=\left|\left|\frac{\partial (X_{(1)},X_{(n)})}{\partial (R,V)}\right|\right|=\left|\left|\begin{array}{cc}-1/2& 1/2\\ 1& 1\end{array}\right|\right|=|-1|=1$$
所以$R,V$的联合概率密度是
$$\begin{gathered} f_{R,V}(r,v)=J(r,v)f_{X_{(1)},X_{(n)}}((2v-r)/2,(2v+r)/2) \\ =(n{)}_{2}f((2v-r)/2)f((2v+r)/2)[F((2v+r)/2)-F((2v-r)/2){]}^{n-2} \end{gathered}$$

其中$r/2<v<\theta -r/2$。如果总体服从$U(0,\theta )$，则
$$f(x)=\frac{1}{\theta },F(x)=\frac{x}{\theta },0\le x\le \theta$$
$R,V$的联合概率密度可以写成
$$f_{R,V}(r,v)=(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n-2},r/2<v<\theta -r/2$$
从而$R$的边缘概率密度是
$$f_R(r)={\int }_{r/2}^{\theta -r/2}(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n-2}dv=(\theta -r)(n{)}_2{\left(\frac{r}{\theta }\right)}^{n-2}$$
$V|R=r$的条件概率密度为
$$f(v|R=r)=\frac{f_{R,V}(r,v)}{f_R(r)}=\frac{1}{\theta -r}$$

例4 如果$X_1,\cdots ,X_n$独立同分布，假设总体的概率密度$f(x)$关于${\xi }_0$对称，记$X_i$的概率密度为$g_{(i)}(y)$，证明$g_{(i)}({\xi }_0+y)=g_{(n+1-i)}({\xi }_0-y)$
根据定理2写出$X_{(i)}$的概率密度，
$$g_{(i)}(y)=i{C}_n^i[F(y){]}^{i-1}[1-F(y){]}^{n-i}f(y)$$
再根据定理2写出$X_{(n+1-i)}$的概率密度，
$$g_{n+1-i}(y)=(n+1-i)C_n^{n+1-i}[F(y){]}^{n-i}[1-F(y){]}^{i-1}f(y)$$
首先
$$i{C}_n^i=\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}=(n+1-i)C_n^{n+1-i}$$
接下来考虑$f(x)$的对称性，这里给出一个引理：

引理3 如果$f(x)$关于${\xi }_0$对称，即$f({\xi }_0-x)=f({\xi }_0+x)$，则有
$$F({\xi }_0-x)+F({\xi }_0+x)=1$$
证明
$$F({\xi }_0-x)+F({\xi }_0+x)=\left({\int }_{-\infty }^{{\xi }_0-x}+{\int }_{-\infty }^{{\xi }_0+x}\right)f(y)dy$$
考虑到$f(x)$的对称性，可以对积分区域做一些操作
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{{\xi }_0-x}+{\int }_{-\infty }^{{\xi }_0+x}={\int }_{-\infty }^{{\xi }_0}-{\int }_{{\xi }_0-x}^{{\xi }_0}+{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{-\infty }^{{\xi }_0} \\ ={\int }_{-\infty }^{{\xi }_0}-{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{{\xi }_0}^{{\xi }_0+x}+{\int }_{{\xi }_0}^{+\infty }={\int }_{-\infty }^{+\infty } \end{gathered}$$
因此$F({\xi }_0-x)+F({\xi }_0+x)=1$
证毕
因此
$$\begin{gathered} g_{(i)}({\xi }_0+y)=i{C}_n^i[F({\xi }_0+y){]}^{i-1}[1-F({\xi }_0+y){]}^{n-i}f({\xi }_0+y) \\ =(n+1-i)C_n^{n+1-i}[1-F({\xi }_0-y){]}^{i-1}[F({\xi }_0-y){]}^{n-i}f({\xi }_0-y)=g_{(n+1-i)}({\xi }_0-y) \end{gathered}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH564 概率论IV 次序统计量例题3的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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