矩阵分析与多元统计 线性空间与线性变换2

• 线性映射
• • 矩阵的等价
• 线性映射的像空间与核空间

线性映射

$V_1,V_2$是数域$F$上的两个线性空间，$\mathcal{A}:V_1\to V_2$是线性映射，如果：$\forall {\alpha }_1,{\alpha }_2\in V_1$，$\lambda \in F$，

$\mathcal{A}({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\mathcal{A}{\alpha }_1+\mathcal{A}{\alpha }_2$

$\mathcal{A}(\lambda {\alpha }_1)=\lambda \mathcal{A}{\alpha }_1$

假设${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$是$V_1$的一组基，${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$是$V_2$的一组基，称$A\in F^{m\times n}$是线性映射$\mathcal{A}$在基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$与${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$下的表示，如果
$$\mathcal{A}({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)A$$
在给定两组基时，线性映射和它的矩阵表示是一一对应的（证明可以参考史荣昌的矩阵分析第三版定理1.4.1）。

矩阵的等价

假设${\alpha }_1^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n^{\prime }$是$V_1$的另一组基，从${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$到这组基的过渡矩阵是$P$；${\beta }_1^{\prime },\cdots ,{\beta }_m^{\prime }$是$V_2$的另一组基，从${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$到这组基的过渡矩阵是$Q$，如果$\mathcal{A}$在${\alpha }_1^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n^{\prime }$和${\beta }_1^{\prime },\cdots ,{\beta }_m^{\prime }$下的矩阵表示为$B$，则
$$B=Q^{-1}AP$$
这个等式的证明就是把过渡矩阵和矩阵表示的定义叙述一遍即可，等式两边表达的是同一个向量的等价表示方法而已，此时称矩阵$A$和矩阵$B$等价。

线性映射的像空间与核空间

定义$\mathcal{A}(V_1)=\{\beta =\mathcal{A}(\alpha )\in V_2:\forall \alpha \in V_1\}$为线性映射的像空间，记为$R(\mathcal{A})$，定义线性映射的秩为
$$rank(\mathcal{A})=\dim R(\mathcal{A})$$
定义线性映射的核空间为
$$N(\mathcal{A})=\{\alpha \in V_1:\mathcal{A}(\alpha )=0\in V_2\}$$
称$\dim N(\mathcal{A})$为线性映射的零度。像空间是$V_2$的线性子空间，核空间是$V_1$的线性子空间。

例1.2.1 证明$rank(\mathcal{A})=rank(A)$，$A$是任意矩阵表示

关于核空间与像空间有一个很重要的关系：
$$\dim R(\mathcal{A})+\dim N(\mathcal{A})=\dim V_1$$
下面给出一个简单证明：

先证明一个用得上的引理：$$R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\alpha }_1),\cdots ,\mathcal{A}({\alpha }_n))$$
$\forall \alpha \in V_1$,$\exists \alpha =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n$，
$$\begin{gathered} \beta =\mathcal{A}(\alpha )=\mathcal{A}(x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n) \\ =x_1\mathcal{A}({\alpha }_1)+\cdots +x_n\mathcal{A}(x_n)\in V_2 \end{gathered}$$
因此
$$R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\alpha }_1),\cdots ,\mathcal{A}({\alpha }_n))$$
假设${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_r$是$N(\mathcal{A})$的一组基，其中$r$是$\mathcal{A}$的零度，将这组基扩展到$V_1$，记为${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_r,{\gamma }_{r+1}^{\prime },\cdots ,{\gamma }_n^{\prime }$，则
$$\begin{gathered} R(\mathcal{A})=span(\mathcal{A}({\gamma }_1),\cdots ,\mathcal{A}({\gamma }_r),\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),\cdots ,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })) \\ =span(0,\cdots ,0,\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),\cdots ,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })) \end{gathered}$$
因此
$$\dim R(\mathcal{A})=\dim span(\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),\cdots ,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime }))$$
要证明$\dim R(\mathcal{A})+\dim N(\mathcal{A})=\dim V_1$，只需要$\mathcal{A}({\gamma }_{r+1}^{\prime }),\cdots ,\mathcal{A}({\gamma }_n^{\prime })$线性无关：
考虑
$$\sum _{j=r+1}^n{k}_j\mathcal{A}({\gamma }_j^{\prime })=0\iff \mathcal{A}(\sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime })=0\iff \sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime }\in N(\mathcal{A})$$
因此它可以用$N(\mathcal{A})$的基表示
$$\exists \sum _{j=r+1}^n{k}_j{\gamma }_j^{\prime }=\sum _{i=1}^r{l}_i{\gamma }_i$$
因为${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_r,{\gamma }_{r+1}^{\prime },\cdots ,{\gamma }_n^{\prime }$线性无关，因此$\forall k_j=l_i=0$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的矩阵分析与多元统计 线性空间与线性变换2的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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