矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵 交换矩阵简介

• 选择矩阵
• 交换矩阵

顾名思义，0-1矩阵就是所有元素取值均为0和1的矩阵，这类矩阵在矩阵分析、多元统计乃至组合学和图论中都有很重要的应用。在这个主题中我打算介绍选择矩阵、排列矩阵、交换矩阵、消元矩阵、复制矩阵和移位矩阵。（其实排列矩阵就是行列互换的初等变换矩阵。。。）

选择矩阵

选择矩阵selection matrix的作用是通过与某个矩阵相乘，使得结果等于这个矩阵中我们希望选择的那些元素构成的矩阵。最简单的selection matrix是列选择矩阵。假设$A\in F^{m\times n}$，$a_i$表示它的第$i$个列向量，$e_i$表示$I_n$的第$i$列，定义$S=[e_{i_1},\cdots ,e_{i_k}],1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$，它是一个列选择矩阵，作用是选出$A$的第$i_1,\cdots ,i_k$列，
$$AS=[a_{i_1},a_{i_2},\cdots ,a_{i_k}]\in F^{m\times k}$$
类似地可以定义行选择矩阵，$a^i$表示$A$的第$i$个行向量，$e^i$表示$I_m$的第$i$行，定义$S=[e^{i_1};\cdots ;e^{i_k}],1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$，那分号表示换行：
$$[e^{i_1};\cdots ;e^{i_k}]=[(e^{i_1}{)}^{\prime },\cdots ,(e^{i_k}{)}^{\prime }{]}^{\prime }$$
它是一个列选择矩阵，可以选出$A$的第$i_1,\cdots ,i_k$行，
$$SA=[a^{i_1};a^{i_2};\cdots ;a^{i_k}]\in F^{k\times n}$$

要选择$A$的第$i,j$个元素是比较容易的，
$$e^{i}A{e}_j=a_j^i$$
根据这个性质也可以定义选择$A$的某个子矩阵的方法。

交换矩阵

对于矩阵$A\in F^{m\times n}$，
$$vec(A)=[a_1;\cdots ;a_n]\in F^{mn\times 1},vec(A^{\prime })=[a^1,\cdots ,a^m{]}^{\prime }\in F^{mn\times 1}$$

如果$\exists K_{mn}\in F^{mn\times mn},K_{mn}vec(A)=vec(A^{\prime })$，则称$K_{mn}$是交换矩阵。根据定义我们会发现交换矩阵有如下简单性质：

$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=vec(A)$

$K_{nm}=K_{mn}^{\prime }=K_{mn}^{-1}$

$K_{1n}=K_{n1}=I_n$

证明 想必大家对交换矩阵会感觉很陌生，但它在矩阵求导的时候会发挥很强大的功能，性质3非常直观，这里就不谈了，我把性质1和2都简单证明评述一下：
性质1：根据定义计算左边的式子
$$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{nm}vec(A^{\prime })=vec((A^{\prime }{)}^{\prime })=vec(A)$$
性质2：事实上交换矩阵的指标对应的是矩阵$A$的维数，$K_{mn}$表示它交换的是$F^{m\times n}$上的矩阵，$K_{nm}$表示它交换的是$F^{n\times m}$上的矩阵，性质2给出了这两个交换矩阵的是互为转置的关系，并指出交换矩阵是正交矩阵，先证明互为转置的关系，根据定义，
$$K_{mn}vec(A)=vec(A^{\prime })=[devec(A){]}^{\prime }$$

再根据性质1，
$$\begin{gathered} K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{nm}[devec(A){]}^{\prime }=vec(A) \\ \Rightarrow devec(A)K_{nm}^{\prime }=[vec(A){]}^{\prime }=devec(A^{\prime }) \end{gathered}$$

再对定义的两边求转置，
$$[vec(A){]}^{\prime }{K}_{mn}^{\prime }=[vec(A^{\prime }){]}^{\prime }\Rightarrow devec(A^{\prime })K_{mn}^{\prime }=devec(A)$$

比较这两个式子就可以得到$K_{mn}^{\prime }=K_{nm}$；接下来证明交换矩阵是正交矩阵，根据性质1和互为转置的关系，
$$K_{nm}{K}_{mn}vec(A)=K_{mn}^{\prime }{K}_{mn}vec(A)=vec(A),\forall A\Rightarrow K_{mn}^{\prime }=K_{mn}^{-1}$$

证毕

尽管有了交换的一个定义，但我们对交换矩阵是什么还是没有很直观的概念，下面我先举一个数值例子，先看看交换矩阵有什么用：

例 交换矩阵的作用
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right],A^{\prime }=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right]$$
则$$vec(A)=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 7\\ 2\\ 5\\ 8\\ 3\\ 6\\ 9\end{array}\right],vec(A^{\prime })=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\end{array}\right]$$
交换矩阵$K_{33}$的作用是把$vec(A)$变成$vec(A^{\prime })$。

下一个问题是：我们能不能写出$K_{33}$这个矩阵长什么样子呢？或者说更一般地，我们怎么写出$K_{mn}$这个矩阵？记$e_i(n)$表示单位矩阵$I_n$的第$i$列，$e^i(n)$表示单位矩阵$I_n$的第$i$行，则
$$K_{mn}=\left[\begin{array}{c}{I}_n\otimes e^1(m)\\ I_n\otimes e^2(m)\\ \cdots \\ I_n\otimes e^m(m)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{I}_m\otimes e_1(n)& I_m\otimes e_2(n)& \cdots & I_m\otimes e_n(n)\end{array}\right]$$
比如在上面的例子中，我们可以写出：
$$K_{33}=\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
按行来看，每一行不为0的元素正好是第1、4、7、2、5、8、3、6、9个，因此$K_{33}$乘以$vec(A)$时，会按顺序将$vec(A)$的第1、4、7、2、5、8、3、6、9个元素取出来排成一列。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的矩阵分析与多元统计12 0-1矩阵 交换矩阵简介的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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