UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度

• 测度与概率
• 概率的连续性

对于概率空间$(\Omega ,\mathcal{F},P)$，$\Omega$是非空集合，表示状态空间；$\mathcal{F}$是事件空间，也是状态空间的一个$\sigma$-代数；$P$是概率测度。我们已经严格定义了前两个要素，这一讲我们介绍概率测度。

测度与概率

测度$P$是一个自变量为集合的函数，它把集合映射成一个数值。对于可测空间$(\Omega ,\mathcal{F})$，如果$P:\mathcal{F}\to {\mathbb{R}}^{+}$是一个测度，则

$P(\varphi )=0$

$\forall A\in \mathcal{F},P(A)\ge 0$

$\forall A_i\in \mathcal{F},i=1,\cdots ,n$, $P({⨆}_{i=1}^n{A}_i)={\sum }_{i=1}^{n}P(A_i)$

如果$\forall A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，$P({⨆}_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)$，称$P$具有可列可加性，或称$P$为$\sigma$-可加测度。

如果$P(\Omega )<\infty$，称$P$为有限测度；如果$\exists A_n,n=1,2,\cdots$，$\Omega ={\sum }_{n=1}^{\infty }{A}_n$，且$P(A_n)<\infty ,\forall n$，则称$P$为$\sigma$-有限测度。显然有限测度一定是$\sigma$-有限测度，反之不成立。

如果$P(\Omega )=1$，且$P$是$\sigma$-可加测度，称$P$为概率测度，或简称概率。

概率的连续性

假设$P$是$\mathcal{F}$上的$\sigma$-可加函数，$P(\Omega )=1$，下面四个条件等价：

$P$是概率；

$P$上连续；

$P$下连续；

$P$在"0"上连续；

我们先介绍一下集函数的连续性，然后再证明它们的等价性。类比实变函数的连续性，$f(x)$在$x_0$处连续，等价于$\forall x_n\to x_0$，${\lim }_{n}f(x_n)\to f(x_0)=f({\lim }_n{x}_n)$。上连续意味着$\forall x_n\to x_0$应该改为$\forall x_n\uparrow x_0$；下连续就改为$\forall x_n\downarrow x_0$，也就是说半连续性会限制逼近的方向。

上连续 $\forall A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，$A_n\subset A_{n+1}$，如果$P({\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，称$P$是上连续的。这个定义中需要注意的是，因为$A_n\subset A_{n+1}$，所以${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n={\lim }_n{A}_n$。

下连续 $\forall A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，$A_n\supset A_{n+1}$，如果$P({\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，称$P$是下连续的。

在0处连续 也就是在$\varphi$处连续，$\forall A_n\in \mathcal{F},n=1,2,\cdots$，$A_n\supset A_{n+1}$，${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n=\varphi$，如果$P({\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，称$P$在$\varphi$处连续。

证明
$1\to 2$，记$A_0=\varphi$，直接计算
$$\begin{gathered} P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨆}}(A_n\setminus A_{n-1}))=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n\setminus A_{n-1}) \\ =\sum _{n=1}^{\infty }[P(A_n)-P(A_{n-1})]=P(A_{\infty })-P(A_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n) \end{gathered}$$
$2\to 3$，因为$A_n\downarrow$，所以$A_1\setminus A_n\uparrow$，同时
$$\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_1\setminus A_n=\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_1\cap A_n^C=A_1\cap \bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n^C=A_1\cap {\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n\right)}^C=A_1\setminus \bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n$$

根据2，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1\setminus A_n)=P(\bigcup _{n=1}^{\infty }(A_1\setminus A_n))$$

基于$A_n=A_1\setminus (A_1\setminus A_n)$，
$$\begin{gathered} P(A_n)=P(A_1)-P(A_1\setminus A_n) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)=P(A_1)-\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1\setminus A_n)=P(A_1)-P(\bigcup _{n=1}^{\infty }(A_1\setminus A_n)) \\ =P(A_1)-P(A_1\setminus \bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n)=P(\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n) \end{gathered}$$
$3\to 4$，非常显然。

$4\to 1$，只需验证$\sigma$可加性即可。考虑
$$\underset{i=1}{\overset{\infty }{⨆}}{A}_i=\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_i+\underset{i=n+1}{\overset{\infty }{⨆}}{A}_i$$

注意到${⨆}_{i=n+1}^{\infty }{A}_i\downarrow \varphi$，根据4，${\lim }_{n\to \infty }P({⨆}_{i=n+1}^{\infty }{A}_i)=0$。根据有限可加性，
$$P(\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)$$

因此
$$P(\underset{i=1}{\overset{\infty }{⨆}}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i)$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础1 概率空间3 概率测度的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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