UA MATH523A 实分析1 集合论基础6 一些点集拓扑基本概念

UA MATH523A 实分析1 集合论基础6 一些点集拓扑基本概念

• • • 拓扑空间
    • 内部、边界、闭包
    • 连续性
    • 紧性

拓扑空间

非空集合$X$，$\forall p\in X$，$\exists {\mathcal{U}}_p$是$X$的子集构成的集族，其中的元素是$p$的邻域，如果

$|{\mathcal{U}}_p|\ge 1$

$\forall U\in {\mathcal{U}}_p$, $p\in U$

$\forall U_1,U_2\in {\mathcal{U}}_p$, $\exists U_3\in {\mathcal{U}}_p$, $U_3\subset U_1\cap U_2$

$\forall U\in {\mathcal{U}}_p$, $\forall q\in U$, $\exists V\in {\mathcal{U}}_q$, $V\subset U$

则称$\tau =\{{\mathcal{U}}_p:\forall p\in X\}$为$X$上的一个拓扑，$(X,\tau )$是一个拓扑空间。

一般介绍拓扑空间会用下面的定义，而上面的定义是拓扑的性质，但实际上它们是等价的：称$(X,\tau )$为拓扑空间，$\tau$为$X$上的拓扑，如果

$X,\varphi \in \tau$

$\forall U,V\in \tau$, $U\cup V\in \tau$

$\forall U_{\sigma }\in \tau ,\sigma \in I$, ${\bigcup }_{\sigma \in I}{U}_{\sigma }\in \tau$

称$\tau$中的元素为开集。

内部、边界、闭包

基于拓扑的定义，我们进一步定义内部、边界、闭包等概念。考虑$A\subset X$，
内点：$\forall x\in X$, 如果$\exists U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x\subset A$，则$x$是$A$的内点；
外点：$\forall x\in X$, 如果$\exists U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x\subset A^C$，则$x$是$A$的外点；
边界点：$\forall x\in X$, 如果$\exists U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $U_x\cap A\ne \varphi$, $U_x\cap A^C\ne \varphi$，则$x$是$A$的边界点；
聚点 ：$\forall x\in X$, 如果$\exists U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $|(U_x\setminus \{x\})\cap A|>0$
孤立点 ：$\forall x\in X$, 如果$\exists U_x\in \tau$, $x\in U_x$, $|(U_x\setminus \{x\})\cap A|=0$

开集 $A$中的所有点都是$A$的内点，则$A$是开集；
闭集 $A^C$是开集，则$A$是闭集；

内部 $\forall A\subset X$, $A$的内部表示$A$包含的最大的开集，或者$A$的所有内点构成的集合，记为$int(A)$
边界 $A$的所有边界点的集合，记为$\partial A$
闭包 $A$的内部与边界点的集合，记为$\bar{A}$，表示包含$A$的最小闭集
导集 $A$的聚点的集合，记为$A^{\prime }$

连续性

现在考虑定义在拓扑空间上的函数，假设$f:(S,{\tau }_1)\to (T,{\tau }_2)$，
连续 考虑$p_0\in S$, $\forall V\in {\tau }_2$, $f(p_0)\in V$, $\exists U\in {\tau }_1,p_0\in U$, $f(U)\subset V$，则称$f$在$p_0$处连续。如果$\forall p_0\in S$，$f$在$p_0$处连续，则称$f$在$S$上连续。关于连续性有一些有用的性质：

$f$在$S$上连续$\iff$ $\forall B\in {\tau }_2$, $f^{-1}(B)\in {\tau }_1$，即任何开集的拉回也是开集

$f$在$S$上连续$\iff$ $\forall B^C\in {\tau }_2$, $(f^{-1}(B){)}^C\in {\tau }_1$，即任何闭集的拉回也是闭集

同胚 如果$f$与$f^{-1}$都是连续的，则称$f$是同胚，称$S,T$是同胚的拓扑空间。

紧性

开覆盖 $A\subset X$, $\mathcal{U}$是$X$的子集系，$\forall p\in A$, $\exists U\in \mathcal{U}$, $p\in U$，则称$\mathcal{U}$是$A$的覆盖。如果$\mathcal{U}$中的元素都是开集，则称之为开覆盖。

有限子覆盖 假设$\exists A_1,\cdots ,A_m\in \mathcal{U}$, $A\subset {\bigcup }_{i=1}^m{U}_i$，则称$A_1,\cdots ,A_m$是一组有限子（开）覆盖。

紧集 $A$是紧集，如果$A$的任何开覆盖都有有限子覆盖，它有两个重要的性质：

${\mathbb{R}}^n$中的有界闭集是紧集；

$f$是$A$上的连续函数，$A$是紧集，则$f(A)$是紧集；

总结

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