UA MATH523A 实分析2 测度论基础2 集族与单调类定理

• 集族与集代数
• 单调类定理

集族与集代数

假设$\Omega$是一个非空集合，$\mathcal{C}$是$\Omega$上的一个集族（元素为集合的集合），根据集族的不同性质可以给它们不同的名字：

$\pi$-类（$\pi$-class）：对交封闭
$\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$

半环（semi-ring）：
1) $\varphi \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $\exists \{E_i{\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{C}$, $A^C={\bigsqcup }_{i=1}^n{E}_i$

环（ring）
1) $\varphi \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$

$\sigma$-环（$\sigma$-ring）
1) $\varphi \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$
4) $\forall \{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }\subset \mathcal{C}$, ${\cup }_i^{\infty }{A}_i\in \mathcal{C}$

半代数（semi-algebra）
1) $\varphi ,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $\exists \{E_i{\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{C}$, $A^C={\bigsqcup }_{i=1}^n{E}_i$

代数（algebra）或者称为域（field）
1) $\varphi ,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$

$\sigma$-代数（$\sigma$-algebra）或者称为$\sigma$-域（$\sigma$-field）
1) $\varphi ,\Omega \in \mathcal{C}$
2) $\forall A,B\in \mathcal{C},A\cap B\in \mathcal{C}$
3) $\forall A\in \mathcal{C}$, $A^C\in \mathcal{C}$
4) $\forall \{A_i{\}}_{i=1}^{\infty }\subset \mathcal{C}$, ${\cup }_i^{\infty }{A}_i\in \mathcal{C}$

单调类（monotone class）：对单调集列极限封闭
$A_n\in \mathcal{C},\forall n\ge 1,A_n\uparrow Aor{A}_n\downarrow A$, $A\in \mathcal{C}$

$\lambda$-类（$\lambda$-class）
1) $\Omega \in \mathcal{C}$
2) $A,B\in \mathcal{C}$, $B\subset A$, $A\setminus B\in \mathcal{C}$
3) $A_n\in \mathcal{C},\forall n\ge 1,A_n\uparrow A$, $A\in \mathcal{C}$

考虑前面定义的环，在$\mathcal{C}$中定义加法为
$$\forall A,B\in \mathcal{C},A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus B)$$

定义乘法为
$$\forall A,B\in \mathcal{C},A\cdot B=A\cap B$$

可以验证$(\mathcal{C},+,\cdot )$基本符合环的定义。代数比环多了一个$\Omega \in \mathcal{C}$的条件，这个条件保证$(\mathcal{C}\setminus \{\varphi \},\cdot )$也是Abel群，所以代数又被称为域。

上一讲我们从直观出发，归纳出测度至少需要满足下面的条件：
$$\mu :2^{{\mathbb{R}}^n}\to [0,\infty ]$$

可列可加性
$$\{E_n\}\subset 2^{{\mathbb{R}}^n},\mu \left(\underset{n}{⨆}{E}_n\right)=\sum _n\mu (E_n)$$

全等不变性：如果$E$,$F$两个图形全等，那么$\mu (E)=\mu (F)$

单位图形测度为1：如果$Q$代表单位图形，比如$[0,1)$或者$[0,1)\times [0,1)$，则$\mu (Q)=1$，关于$Q$更严格的定义是
$$Q=\{(x_1,\cdots ,x_n):0\le x_k<1,k=1,\cdots ,n\}$$

上一讲我们也论证了在幂集上定义测度是不可行的，因此我们需要考虑测度的定义域应该满足什么性质。假设集族$\mathcal{C}$是测度的定义域，根据测度的第一条性质，显然集族$\mathcal{C}$要对可列并封闭，那么上面介绍的九种集族中，能用的就只有$\sigma$-环和$\sigma$-代数了。

事实上在$\sigma$-环上或者$\sigma$-代数上定义测度都是可行的，但大部分教材都是在$\sigma$-代数上定义测度的，所以这个系列我们主要介绍在$\sigma$-代数上定义测度的方法，但也会介绍在$\sigma$-环上定义测度的相关结果。

在介绍单调类定理前我们先介绍一个引理
引理1

一个集族同时为代数和单调类，那么它是$\sigma$-代数；

一个集族同时为$\pi$-类和$\lambda$-类，那么它是$\sigma$-代数

证明
1）考虑集族$\mathcal{A}$，假设它是单调类也是代数，对于$\{A_i{\}}_{i=1}^n\subset \mathcal{A}$，定义$B_j={\cup }_{i=1}^j{A}_i$，显然$B_j\subset B_{j+1}$并且$B_j\in \mathcal{A}$。根据单调类的性质，$B_j\uparrow {\cup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\in \mathcal{A}$，所以代数$\mathcal{A}$对可列并，$\mathcal{A}$是$\sigma$-代数。

2）$\lambda$-类是单调类，根据1），只需要说明同时为$\lambda$-类和$\pi$-类的集族是代数即可。假设$\mathcal{C}$同时为$\lambda$-类和$\pi$-类，$\forall A,B\in \mathcal{C}$，$A\setminus B=A\setminus (A\cap B)$，根据$\lambda$-类和$\pi$-类的性质，$A\setminus B\in \mathcal{C}$，因此$\mathcal{C}$对差封闭。所以$\mathcal{C}$是$\sigma$-代数。
证毕

单调类定理

虽然我们定义测度只用到两种集合代数结构，但其他的结构也是有用的，比如单调类和$\lambda$类。$\sigma$-代数虽然性质良好，公理化定义比较完善，但换句话说就是要构造$\sigma$-代数要求非常苛刻，因此直接构造$\sigma$-代数是一件非常困难的事情。

假设$\mathcal{C}$是一个集族，记$\sigma (\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的$\sigma$-代数，记$m(\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的单调类，记$\lambda (\mathcal{C})$是集族$\mathcal{C}$生成的$\lambda$类。显然由同一个集族生成的代数结构，越复杂的越粗：
$$m(\mathcal{C})\subset \lambda (\mathcal{C})\subset \sigma (\mathcal{C})$$

因为单调类是最容易构造的，我们可以设想假设$\mathcal{C}$可以满足一些条件，可以使$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$，这样的结果被称为单调类定理。

定理1

$\mathcal{C}$为代数，则$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$

$\mathcal{C}$为$\pi$-类，则$\lambda (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$

证明
这里简单阐述一下第一条的证明。根据引理，只需要证明$m(\mathcal{C})$是代数即可，定义
$$\mathcal{M}=\{A\in m(\mathcal{C}):A^C\in m(\mathcal{C}),A\cap B\in m(\mathcal{C}),\forall B\in m(\mathcal{C})\}$$

验证$\mathcal{M}=m(\mathcal{C})$以及$\mathcal{M}$是代数即可。这种证明方法叫适当集合原理，它的思路是定义一个集族满足某些特定性质的子集（适当集合），然后证明这个子集与这个集族相等并且是一类特殊的集族，这样我们就证明了这个集族也是这类特殊的集族。下面的定理2我们也用适当集合原理证明。

详细步骤参考俄罗斯数学教材选译《概率》第一卷第二篇第二节定理1。

证毕

定理1给了一个充分条件，现在我们试图推广这个结果，找一个充要条件，如下面的定理2。

定理2

$m(\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$的充要条件是$m(\mathcal{C})$对补和交封闭

$\lambda (\mathcal{C})=\sigma (\mathcal{C})$的充要条件是$\lambda (\mathcal{C})$对交封闭

证明
只介绍大致的思路，定义
$${\mathcal{G}}_1=\{A\in m(\mathcal{C}):A^C\in m(\mathcal{C}),A\cap B\in m(\mathcal{C}),\forall B\in m(\mathcal{C})\}$$

可以验证${\mathcal{G}}_1$是代数，也是单调类，另外${\mathcal{G}}_1\subset m(\mathcal{C})$，并且$\mathcal{C}\in {\mathcal{G}}_1$，根据引理${\mathcal{G}}_1$是$\sigma (\mathcal{C})$。

第二条证明定义
$${\mathcal{G}}_2=\{A\in \lambda (\mathcal{C}):A\cap B\in \lambda (\mathcal{C}),\forall B\in \lambda (\mathcal{C})\}$$

验证${\mathcal{G}}_2$是$\pi$-类，也是最小$\lambda$-类即可。

证毕

评注 定理2的两条结论中对交封闭可以改成对并封闭。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH523A 实分析2 测度论基础2 集族与单调类的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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