UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析2 仿射组合与仿射包
对于数域FFF上的线性空间VVV，考虑∀x1,⋯,xm∈V,∀λ1,⋯,λm∈F\forall x_1,\cdots,x_m \in V,\forall \lambda_1,\cdots,\lambda_m \in F∀x1,⋯,xm∈V,∀λ1,⋯,λm∈F, λ1+⋯+λm=1\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1λ1+⋯+λm=1，称x=λ1x1+⋯+λmxmx=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_mx=λ1x1+⋯+λmxm
为一个仿射组合。考虑S⊂VS \subset VS⊂V，记affSaffSaffS为线性子空间的SSS仿射包，它是包含SSS的最小线性流形：
affS={∑i=1mλixi:xi∈S,λi∈F,∑i=1mλi=1}affS=\{\sum_{i=1}^m \lambda_ix_i:x_i \in S,\lambda_i \in F,\sum_{i=1}^m \lambda_i=1\}affS={i=1∑mλixi:xi∈S,λi∈F,i=1∑mλi=1}
对于y0,y1,⋯,ym∈Sy_0,y_1,\cdots,y_m \in Sy0,y1,⋯,ym∈S，称它们仿射无关，如果y1−y0,⋯,ym−y0y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0y1−y0,⋯,ym−y0线性无关；称它们仿射相关，如果y1−y0,⋯,ym−y0y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0y1−y0,⋯,ym−y0线性相关。因此
span{y1−y0,⋯,ym−y0}=aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}span\{y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}span{y1−y0,⋯,ym−y0}=aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}
其中aff{vectors}aff\{vectors\}aff{vectors}表示由这些vectors生成的线性流形。另外，根据平行关系，
aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}=b0+aff{y0,y1,⋯,ym}aff\{0,y_1-y_0,\cdots,y_m-y_0\}=b_0+aff\{y_0,y_1,\cdots,y_m\}aff{0,y1−y0,⋯,ym−y0}=b0+aff{y0,y1,⋯,ym}
基于仿射无关与线性无关的关系，我们可以将判断线性相关性的方法直接用来判断仿射相关性。另外，根据线性流形与线性子空间的关系，仿射变换总是可以表示成一个线性变化和一个平移。
总结
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