UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 控制收敛定理计算一元积分的极限
UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 控制收敛定理计算一元积分的极限
例 假设g∈C1([0,∞)),g′g \in C^1([0,\infty)),g'g∈C1([0,∞)),g′有界，g(0)=0g(0)=0g(0)=0，计算
limn→∞n∫0∞g(x/n)xe−xdx\lim_{n \to \infty} n\int_0^{\infty} \frac{g(x/n)}{x}e^{-x}dxn→∞limn∫0∞xg(x/n)e−xdx
解 记fn(x)=ng(x/n)xe−x=g(x/n)x/ne−x=g(x/n)−g(0)x/n−0e−xf_n(x)=n\frac{g(x/n)}{x}e^{-x} =\frac{g(x/n)}{x/n}e^{-x}=\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0}e^{-x}fn(x)=nxg(x/n)e−x=x/ng(x/n)e−x=x/n−0g(x/n)−g(0)e−x
基于这个观察，当n→∞n \to \inftyn→∞时，显然第一个因式就是一个导数，用Lagrange中值定理，∃ξx,n∈[0,x/n]\exists \xi_{x,n} \in [0,x/n]∃ξx,n∈[0,x/n],
g(x/n)−g(0)x/n−0=g′(ξx,n)\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0} = g'(\xi_{x,n})x/n−0g(x/n)−g(0)=g′(ξx,n)
因为g′g'g′有界，∃M>0\exists M>0∃M>0, ∣g′(ξx,n)∣≤M|g'(\xi_{x,n})| \le M∣g′(ξx,n)∣≤M，所以
∣fn(x)∣=∣g′(ξx,n)∣e−x≤Me−x∈L1|f_n(x)| = |g'(\xi_{x,n})|e^{-x}\le Me^{-x} \in L^1∣fn(x)∣=∣g′(ξx,n)∣e−x≤Me−x∈L1
因此我们可以对原问题使用控制收敛定理交换极限与积分的顺序。注意到∀x∈[0,∞)\forall x \in [0,\infty)∀x∈[0,∞)
limn→∞fn(x)=limn→∞g(x/n)−g(0)x/n−0e−x=g′(0)e−x\lim_{n \to \infty}f_n(x) = \lim_{n \to \infty}\frac{g(x/n)-g(0)}{x/n-0}e^{-x}=g'(0)e^{-x}n→∞limfn(x)=n→∞limx/n−0g(x/n)−g(0)e−x=g′(0)e−x
第二个等号的依据是g∈C1g \in C^1g∈C1，所以g′g'g′是连续的。根据控制收敛定理，
limn→∞n∫0∞g(x/n)xe−xdx=∫0∞g′(0)e−xdx=g′(0)\lim_{n \to \infty} n\int_0^{\infty} \frac{g(x/n)}{x}e^{-x}dx = \int_0^{\infty}g'(0)e^{-x}dx=g'(0)n→∞limn∫0∞xg(x/n)e−xdx=∫0∞g′(0)e−xdx=g′(0)
总结
以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 控制收敛定理计算一元积分的极限的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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