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UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 一个测度与积分的综合计算题

发布时间：2025/4/14 编程问答 37 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 一个测度与积分的综合计算题 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 一个测度与积分的综合计算题

例 EnE_nEn​是一列[0,1][0,1][0,1]上的Lebesgue可测集，∃k∈[0,1]\exists k \in [0,1]∃k∈[0,1]，满足
lim⁡n→∞m(En∩[0,a])=ka,∀a∈[0,1]\lim_{n \to \infty} m(E_n \cap [0,a])=ka,\forall a \in [0,1]n→∞lim​m(En​∩[0,a])=ka,∀a∈[0,1]

证明∀f∈L1([0,1])\forall f \in L^1([0,1])∀f∈L1([0,1]),
lim⁡n→∞∫Enfdm=k∫01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \int_{E_n}fdm = k\int_0^1f(x)dxn→∞lim​∫En​​fdm=k∫01​f(x)dx

证

Claim：∀I⊂[0,1]\forall I \subset [0,1]∀I⊂[0,1], III是一个区间，有m(En∩I)→km(I)m(E_n \cap I) \to km(I)m(En​∩I)→km(I)。

根据假设，对[0,a][0,a][0,a]这类区间显然是成立的，我们需要还讨论[b,1][b,1][b,1]与(a,b)(a,b)(a,b)这两类区间：

  • m(En∩[b,1])=m(En∖[0,b))=m(En∖[0,b])=m(En)−m(En∩[0,b])→k(1−b)m(E_n \cap [b,1])=m(E_n \setminus [0,b)) = m(E_n \setminus [0,b])=m(E_n)-m(E_n \cap [0,b]) \to k(1-b)m(En​∩[b,1])=m(En​∖[0,b))=m(En​∖[0,b])=m(En​)−m(En​∩[0,b])→k(1−b)，其中m(En)→km(E_n) \to km(En​)→k，取a=1a=1a=1即可验证；
  • m(En∩(a,b))=m(En∖[0,a]∖[b,1])=m(En)−m(En∩[0,a])−m(En∩[b,1])→k(b−a)m(E_n \cap (a,b)) = m(E_n \setminus [0,a] \setminus [b,1]) = m(E_n)-m(E_n \cap [0,a])-m(E_n \cap [b,1])\to k(b-a)m(En​∩(a,b))=m(En​∖[0,a]∖[b,1])=m(En​)−m(En​∩[0,a])−m(En​∩[b,1])→k(b−a)

    • 这样我们就说明了Claim为真。

    下面我们讨论关于积分的结论，没什么头绪的时候，关于积分的结论我们总是可以先讨论简单可测函数然后再用简单可测函数逼近一般可测函数的思路处理。所以假设
    ϕ=∑j=1NajχIj\phi = \sum_{j=1}^N a_j \chi_{I_j}ϕ=j=1∑N​aj​χIj​​

    其中IjI_jIj​是[0,1][0,1][0,1]上的区间。计算
    ∫Enϕdm=∑j=1Najm(En∩Ij)→∑j=1Nkajm(Ij)=k∫01ϕ(x)dx\int_{E_n} \phi dm=\sum_{j=1}^N a_j m(E_n \cap I_j) \to \sum_{j=1}^Nka_jm(I_j)=k\int_0^1\phi (x)dx∫En​​ϕdm=j=1∑N​aj​m(En​∩Ij​)→j=1∑N​kaj​m(Ij​)=k∫01​ϕ(x)dx

    也就是说关于积分的那个结论对简单可测函数是成立的。

    ∀f∈L1([0,1]),ϵ>0\forall f \in L^1([0,1]),\epsilon>0∀f∈L1([0,1]),ϵ>0，根据Theorem 2.10，∃ϕ\exists \phi∃ϕ为简单函数，使得
    ∫∣f−ϕ∣dm<ϵ3\int|f-\phi|dm<\frac{\epsilon}{3}∫∣f−ϕ∣dm<3ϵ​

    因为
    ∫Enϕdm→k∫01ϕ(x)dx,n→∞\int_{E_n} \phi dm \to k\int_0^1\phi (x)dx, n \to \infty∫En​​ϕdm→k∫01​ϕ(x)dx,n→∞

    ∃N∈N,∀n≥N\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N∃N∈N,∀n≥N,
    ∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣<ϵ3\left| \int_{E_n}\phi dm - k\int_0^1\phi (x)dx \right|< \frac{\epsilon}{3}∣∣∣∣​∫En​​ϕdm−k∫01​ϕ(x)dx∣∣∣∣​<3ϵ​

    所以
    ∣∫Enfdm−k∫01f(x)dx∣=∣∫En(f−ϕ)dm+k∫01(f−ϕ)(x)dx+∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣≤∫En∣f−ϕ∣dm+k∫01∣f−ϕ∣(x)dx+∣∫Enϕdm−k∫01ϕ(x)dx∣<ϵ3+ϵ3+ϵ3=ϵ\left| \int_{E_n}f dm - k\int_0^1f(x)dx \right| \\ = \left| \int_{E_n}(f-\phi)dm +k\int_0^1(f-\phi)(x)dx + \int_{E_n}\phi dm - k\int_0^1\phi(x)dx \right| \\ \le \int_{E_n}|f-\phi|dm+k\int_0^1|f-\phi|(x)dx+\left| \int_{E_n}\phi dm-k\int_0^1 \phi(x)dx \right| \\ < \frac{\epsilon}{3}+ \frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3} = \epsilon∣∣∣∣​∫En​​fdm−k∫01​f(x)dx∣∣∣∣​=∣∣∣∣​∫En​​(f−ϕ)dm+k∫01​(f−ϕ)(x)dx+∫En​​ϕdm−k∫01​ϕ(x)dx∣∣∣∣​≤∫En​​∣f−ϕ∣dm+k∫01​∣f−ϕ∣(x)dx+∣∣∣∣​∫En​​ϕdm−k∫01​ϕ(x)dx∣∣∣∣​<3ϵ​+3ϵ​+3ϵ​=ϵ

    总结

    以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 一个测度与积分的综合计算题的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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