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UA MATH567 高维统计I 概率不等式9 亚高斯性的推广：Orlicz空间与Orlicz范数

发布时间：2025/4/14 编程问答 54 豆豆

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UA MATH567 高维统计I 概率不等式9 亚高斯性的推广：Orlicz空间

这一讲讨论亚高斯范数与亚指数范数的推广，用一个更广义的框架理解这两种范数，它们其实是Orlicz空间中的随机变量的Orlicz范数。

称 $ψ:[0,∞)→[0,∞)\psi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ 为Orlicz函数，如果

ψ(0)=0\psi(0)=0

ψ(+∞)=+∞\psi(+\infty)=+\infty

ψ\psi

是单调递增的凸函数

假设随机变量 $X$ 定义在概率空间 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上，定义随机变量的Orlicz范数为
$∥X∥ψ=inf⁡{t>0:Eψ(∣X∣/t)≤1}\left\| X \right\|_{\psi}=\inf\{t>0:E\psi(|X|/t) \le 1\}$

记 $Lψ(Ω,F,P)L_{\psi}(\Omega,\mathcal{F},P)$ 是概率空间 $(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上Orlicz范数有限的随机变量的集合，简记为 $LψL_{\psi}$ ，称它是Orlicz空间。Orlicz空间实际上比我们常用的 $L^p$ 空间更具有一般性，比如取 $ψ(x)=xp,p≥1\psi(x)=x^p,p \ge 1$ ，则 $Lψ=LpL_{\psi}=L^p$ ，也就是说 $L^p$ 空间实际上是Orlicz空间的一种特例。另外，如果取 $ψ(x)=ex2−1\psi(x)=e^{x^2}-1$ ，则Orlicz范数就是亚高斯范数；如果取 $ψ(x)=ex−1\psi(x)=e^{x}-1$ ，则Orlicz范数就是亚指数范数

接下来我们验证下面两个事实：

Orlicz范数的确是Orlicz空间

LψL_{\psi}

上的范数；

Orlicz空间

LψL_{\psi}

是一个Banach空间；

证明
先说明Orlicz范数真的是一个范数。
(i) $∥X∥ψ=0\left\| X \right\|_{\psi}=0$ 等价于 $X = 0, a . s .$ ，因为 $∀ϵ>0\forall \epsilon>0$ ，根据Markov不等式
$\ge \epsilon)=P(\psi(|X|/t) \ge \psi(\epsilon/t)) \le \frac{1}{\psi(\epsilon/t)}E[\psi(|X|/t)]$

如果 $∥X∥ψ=0\left\| X \right\|_{\psi}=0$ ，根据Orlicz范数的定义
$E[ψ(∣X∣/t)]≤1,∀t>0E[\psi(|X|/t)] \le 1,\forall t>0$

因此
$1ψ(ϵ/t)E[ψ(∣X∣/t)]≤1ψ(ϵ/t)\frac{1}{\psi(\epsilon/t)}E[\psi(|X|/t)] \le \frac{1}{\psi(\epsilon/t)}$

因为 $t$ 的任意性，我们可以选取 $t=o(ϵ)t=o(\epsilon)$ ，使得 $ψ(ϵ/t)→∞\psi(\epsilon/t) \to \infty$ ，从而 $\ge \epsilon) \to 0$ ，于是 $X = 0, a . s .$ 。反过来，如果 $X = 0, a . s .$ ，显然 $∥X∥ψ=0\left\| X \right\|_{\psi}=0$ 。

(ii) 根据定义 $∥cX∥ψ=∣c∣∥X∥ψ\left\| cX \right\|_{\psi}=|c|\left\| X \right\|_{\psi}$ 显然成立；

(iii) 记 $t=∥X∥ψ,s=∥Y∥ψt=\left\| X \right\|_{\psi},s =\left\| Y \right\|_{\psi}$ ，要说明 $∥X∥ψ+∥Y∥ψ≥∥X+Y∥ψ\left\| X \right\|_{\psi}+\left\|Y \right\|_{\psi} \ge \left\|X+Y \right\|_{\psi}$ ，需要说明
$ψ(∣X+Y∣s+t)≤1,a.s.\psi(\frac{|X+Y|}{s+t}) \le 1,a.s.$

因为 $ψ\psi$ 是凸函数，根据Jensen不等式，
$ψ(∣X+Y∣s+t)≤ψ(∣X∣+∣Y∣s+t)≤ts+tψ(∣X∣t)+ss+tψ(∣Y∣s)\psi(\frac{|X+Y|}{s+t}) \le \psi(\frac{|X|+|Y|}{s+t}) \le \frac{t}{s+t}\psi(\frac{|X|}{t})+ \frac{s}{s+t}\psi(\frac{|Y|}{s})$

其中
$ψ(∣X∣t)≤1,a.s.,ψ(∣Y∣s)≤1,a.s.\psi(\frac{|X|}{t}) \le 1,a.s., \ \ \psi(\frac{|Y|}{s}) \le 1,a.s.$

于是
$ψ(∣X+Y∣s+t)≤1,a.s.\psi(\frac{|X+Y|}{s+t}) \le 1,a.s.$

综上，Orlicz范数符合范数的定义。

评注
1）为了说明Orlicz空间是一个Banach空间，需要说明Orlicz空间中的Cauchy序列收敛，这个操作与说明 $L^p$ 空间的完备性类似，读者可以自行尝试，也就是假设 ${Xn}⊂Lψ\{X_n\} \subset L_{\psi}$ ，满足
$∥Xn−Xm∥ψ→0,asn,m→∞\left\| X_n-X_m \right\|_{\psi} \to 0, as\ n,m \to \infty$

需要说明 ${X_n\}$ 收敛到 $LψL_{\psi}$ 中的某个随机变量。

2）Orlicz空间与 $L^p$ 空间有包含关系：
$L∞⊂Lψ⊂LpL^{\infty} \subset L_{\psi} \subset L^p$

其中 $L∞L^{\infty}$ 中的随机变量是有界的， $L^p$ 中的随机变量的前 $p$ 阶矩是有界的， $LψL_{\psi}$ 中的随机变量的尾部概率满足一定的限制。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH567 高维统计I 概率不等式9 亚高斯性的推广：Orlicz空间与Orlicz范数的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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