UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理4 独立一元随机变量的性质

UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理4 独立一元随机变量的性质

上一讲我们建立了判断一元随机变量独立性的方法，这一讲我们来推导一些关于一元随机变量独立性的性质。

性质1 $\forall 1\le i\le n,1\le j\le m_i$，$\{X_{i,j}\}$是一列独立的随机变量，假设$f_i:{\mathbb{R}}^{m_i}\to \mathbb{R}$是可测函数，则$\{f_i(X_{i,1},\cdots ,X_{i,m_i})\}$也是一列独立的随机变量。

说明 简单地说，这个性质表达的是独立随机变量的函数也是互相独立的。这里给出证明的思路。

引理 假设${\mathcal{F}}_{i,j}$，$1\le i\le n,1\le j\le m_i$，是独立的集族，定义${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，则${\mathcal{G}}_1,\cdots ,{\mathcal{G}}_i$是独立的。

构造${\mathcal{A}}_i=\{{\cap }_j{A}_{i,j}:A_{i,j}\in {\mathcal{F}}_{i,j}\}$，不难验证${\mathcal{A}}_i$是一个$\pi$-类，并且$\Omega ,{\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j}\in {\mathcal{A}}_i$，根据$\sigma$-代数独立性的定理：(定理 假设${\mathcal{A}}_i,1\le i\le n$是一列独立的$\pi$-类，则$\sigma (A_i),1\le i\le n$独立。)，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\mathcal{A}}_i)$独立。

根据这个引理我们讨论性质1，记${\mathcal{F}}_{i,j}=\sigma (X_{i,j})$，${\mathcal{G}}_i=\sigma ({\cup }_j{\mathcal{F}}_{i,j})$，则
$$f_i(X_{i,1},\cdots ,X_{i,m_i})\in {\mathcal{G}}_i$$

根据引理，$\{f_i(X_{i,1},\cdots ,X_{i,m_i})\}$也是一列独立的随机变量。

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性质2 假设$\{X_i{\}}_{i=1}^n$是一列独立的随机变量，$X_i$的分布为${\mu }_i$，则$(X_1,\cdots ,X_n)$的联合分布为${\mu }_1\times \cdots \times {\mu }_n$

说明 先解释一下${\mu }_i$的含义，对于$A\in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
$${\mu }_i(A)=P(X_i\in A)$$

联合分布指的是
$${\mu }_1\times \cdots \times {\mu }_n(A_1\times \cdots \times A_n)=\prod _{i=1}^n{\mu }_i(A_i)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

因为
$$\begin{gathered} P((X_1,\cdots ,X_n)\in (A_1\times \cdots \times A_n)) \\ =P(X_1\in A_1,\cdots ,X_n\in A_n) \end{gathered}$$

根据独立性，
$$P(X_1\in A_1,\cdots ,X_n\in A_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i\in A)$$

再根据分布的定义，就可以得到性质2了。

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性质3 (Fubini-Tonelli定理的期望形式)
假设$X,Y$的分布为$\mu ,\nu$，并且$X,Y$互相独立，如果$h$是可测函数，$h$非负或者可积，则
$$Eh(X,Y)=\iint h(x,y)\mu (dx)\nu (dy)$$

一个特殊情况是如果$h(x,y)=f(x)g(y)$，$f,g$非负或者$f,g$可积，则
$$Ef(X)g(Y)=Ef(X)Eg(Y)$$

总结

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