[概统]本科二年级 概率论与数理统计 第四讲 连续型随机变量

[概统]本科二年级 概率论与数理统计 第四讲 连续型随机变量

• • 连续型随机变量的基本概念
  • 均匀分布
  • 指数分布
  • 正态分布
  • • 推导正态分布的密度(de Moivre-Laplace定理)
    • 标准正态分布
    • 一般的正态分布

连续型随机变量的基本概念

定义4.1 在$\mathbb{R}$上定义概率$P$，$P:\mathcal{A}\to [0,1]$，

$P(\varphi )=0$，即不可能事件概率为0

$P(\Omega )=1$，即必然事件概率为1

对一列互斥的事件$\{A_n{\}}_{n\ge 1}\subset \mathcal{P}$, $$P(\bigcup _{n\ge 1}{A}_n)=\sum _{n\ge 1}P(A_n)$$即互斥事件和的概率等于互斥事件概率之和

其中$\mathcal{A}$是$\mathbb{R}$的某些子集组成的集合，按几何概型的启发，我们假设$\mathcal{A}$中的元素都可以用某些区间的交或者并表示。这样我们就得到了概率空间$(\mathbb{R},\mathcal{A},P)$，称这样的概率空间为连续型概率空间。定义$X:(\mathbb{R},\mathcal{A},P)\to \mathbb{R}$，则$X$为连续型随机变量。

例4.1 我们可以把事件用随机变量表示，考虑事件$A\in \mathcal{A}$，定义
$$1_A(x)=\{\begin{array}{l}1,x\in A\\ 0,x\notin A\end{array}$$

显然$1_A$是一个连续型随机变量，我们称这样的随机变量为事件的指示变量(indicator function)。

定义4.2 分布、累积分布函数、生存函数
称映射$\mu :\mathcal{A}\to [0,1]$是$X$的分布，如果$\forall A\in \mathcal{A}$
$$\mu (A)=P(\{w\in \Omega :X(w)\in A\})=P(X\in A)$$

如果取$A=(-\infty ,x]$，则记
$$F_X(x)=\mu ((-\infty ,x])=P(X\le x)$$

称$F_X$为$X$的累积分布函数(cumulative distribution function, cdf)；如果取$A=(x,\infty )$，则记$$S_X(x)=\mu ((x,\infty ))=P(X>x)$$

称$S_X$为$X$的生存函数，显然
$$F_X(x)+S_X(x)=1,\forall x\in \mathbb{R}$$

定理4.1 累积分布函数的性质

右连续

$F(-\infty )=0,F(+\infty )=1$

非减

证明
第一条，右连续，即${\lim }_{x\to a^{+}}{F}_X(x)=F(a),\forall x\in \mathbb{R}$，要证明这个结论，我们考虑任意一个单调递增且收敛到$a$的序列$\{x_n\}$，则
$$\{X\le x_1\}\supset \{X\le x_2\}\cdots \supset \{X\le x_n\}\supset \cdots$$

所以
$$\bigcap _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\}=\{X\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\}=\{X\le a\}$$

根据概率的下连续性（见下面的评注），
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(X_n\le x_n)=P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\})=P(X\le a)=F_X(a)$$

这就说明了累积分布函数的右连续性。

第二条，$F(-\infty )={\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$，要证明这个极限，我们选择任意一个递减且发散到$-\infty$的序列$\{x_n\}$，则
$$\{X\le x_1\}\supset \{X\le x_2\}\cdots \supset \{X\le x_n\}\supset \cdots$$

并且
$$\bigcap _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\}=\{X\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\}=\varphi$$

根据第一条性质，
$$F(-\infty )=P(\bigcap _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\})=P(\varphi )=0$$

类似地，$F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }{F}_X(x)=1$，我们选择一个递增且分散到$+\infty$的序列$\{x_n\}$，则
$$\{X\le x_1\}\subset \{X\le x_2\}\cdots \subset \{X\le x_n\}\subset \cdots$$

并且
$$\bigcup _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\}=\{X\le \underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\}=\Omega$$

根据概率的上连续性（见下面的评注），
$$F(+\infty )=P(\bigcup _{n=1}^{\infty }\{X\le x_n\})=P(\Omega )=1$$

第三条，考虑$x\le y$，$\{X\le x\}\subset \{X\le y\}$，所以$P(X\le x)\le P(X\le y)$，于是$F_X(x)\le F_Y(y)$。

评注
关于概率有两个很重要的性质：
上连续 考虑$A_n\in \mathcal{A},n=1,2,\cdots$，$A_n\subset A_{n+1}$，如果$P({\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，称$P$是上连续的。这个定义中需要注意的是，因为$A_n\subset A_{n+1}$，所以${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n={\lim }_n{A}_n$。

下连续 $\forall A_n\in \mathcal{A},n=1,2,\cdots$，$A_n\supset A_{n+1}$，如果$P({\bigcap }_{n=1}^{\infty }{A}_n)={\lim }_{n}P(A_n)$，称$P$是下连续的。

概率推上连续，记$A_0=\varphi$，直接计算
$$\begin{gathered} P(\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n)=P(\underset{n=1}{\overset{\infty }{⨆}}(A_n\setminus A_{n-1}))=\sum _{n=1}^{\infty }P(A_n\setminus A_{n-1}) \\ =\sum _{n=1}^{\infty }[P(A_n)-P(A_{n-1})]=P(A_{\infty })-P(A_0)=\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n) \end{gathered}$$
概率推下连续，因为$A_n\downarrow$，所以$A_1\setminus A_n\uparrow$，同时
$$\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_1\setminus A_n=\bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_1\cap A_n^C=A_1\cap \bigcup _{n=1}^{\infty }{A}_n^C=A_1\cap {\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n\right)}^C=A_1\setminus \bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n$$

根据2，
$$\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1\setminus A_n)=P(\bigcup _{n=1}^{\infty }(A_1\setminus A_n))$$

基于$A_n=A_1\setminus (A_1\setminus A_n)$，
$$\begin{gathered} P(A_n)=P(A_1)-P(A_1\setminus A_n) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }P(A_n)=P(A_1)-\underset{n\to \infty }{\lim }P(A_1\setminus A_n)=P(A_1)-P(\bigcup _{n=1}^{\infty }(A_1\setminus A_n)) \\ =P(A_1)-P(A_1\setminus \bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n)=P(\bigcap _{n=1}^{\infty }{A}_n) \end{gathered}$$

例4.2 离散型随机变量的累积分布函数
考虑几何分布，分布列为
$$P(X=k)=p(1-p{)}^k,k=0,1,\cdots$$

我们来按定义推导一下它的累积分布函数，考虑$F_X(x)=P(X\le x),\forall x\in \mathbb{R}$，如果$x\in [n,n+1)$，则
$$\begin{gathered} F_X(x)=P(X\le x)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k) \\ =\sum _{k=0}^{n}p(1-p{)}^k=\frac{p[1-(1-p{)}^n]}{1-(1-p)}=1-(1-p{)}^n \end{gathered}$$

定义4.3 概率密度函数
如果$F_X$是可微的，即$\forall x\in \mathbb{R}$，$\exists h>0,\xi >0$
$$F_X(x+h)=F_X(x)+\xi h+o(h)$$

这里的$\xi$是$F_X$在$x$处的导数，记为$f_X(x)$，
$$f_X(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F_X(x+h)-F_X(x)}{h}$$

称$f_X$是$X$的概率密度函数(probability density function, pdf)。

定理4.2 概率密度函数的性质

pdf的归一性

概率密度函数的非负性

$P(a<X\le b)={\int }_a^b{f}_X(x)dx$

证明
第一条，
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)dx=F_X(+\infty )-F_X(-\infty )=1$$

第二条，因为$F_X$非减，$F_X(x+h)\ge F_X(x)$，根据极限的保号性
$$f_X(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{F_X(x+h)-F_X(x)}{h}\ge 0$$

第三条，
$$\begin{gathered} P(a<X\le b)=F(b)-F(a) \\ ={\int }_{-\infty }^b{f}_X(x)dx-{\int }_{-\infty }^a{f}_X(x)dx={\int }_a^b{f}_X(x)dx \end{gathered}$$

定义4.4 期望与方差
假设$X$是某个连续型随机变量，$F_X$是cdf，$f_X$是pdf，定义期望为
$$EX={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$$

定义方差为
$$Var(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-EX{)}^2{f}_X(x)dx=E{X}^2-(EX{)}^2$$

定理4.3 生存函数计算期望
$$EX={\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_X(x)dx$$

证明
我们用Fubini来证明这个等式，
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }x{f}_X(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\left({\int }_0^{x}dt\right)f_X(x)dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_0^x{f}_X(x)dtdx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_t^{\infty }{f}_X(x)dxdt \end{gathered}$$

最后一个等号用的是Fubini定理，因为积分区域是$t<x$，于是变换积分次序后内层积分区域为$x>t$，内层积分为
$${\int }_t^{\infty }{f}_X(x)dx=1-F_X(t)=S_X(t)$$

所以
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_t^{\infty }{f}_X(x)dxdt={\int }_{-\infty }^{\infty }{S}_X(t)dt$$

均匀分布

一元连续均匀分布$U[a,b]$的密度为
$$f_X(x)=\frac{1_{[a,b]}(x)}{b-a}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},x\in [a,b]\\ 0,otherwise\end{array}$$

它的累积分布函数为
$$F_X(x)=\{\begin{array}{l}0,x\in (-\infty ,a]\\ \frac{x-a}{b-a},x\in (a,b]\\ 1,x\in (b,\infty )\end{array}$$

定理4.4
$$EX=\frac{a+b}{2},Var(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

这两个结论留给读者证明。

指数分布

指数分布$EXP(\lambda )$的密度函数为
$$f_X(x)=\lambda 1_{x\ge 0}(x)e^{-\lambda x}=\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0\\ 0,otherwise\end{array}$$

累积分布函数为
$$F_X(x)=\{\begin{array}{l}0,x\in (-\infty ,0]\\ 1-e^{-\lambda x},x\in (0,\infty )\end{array}$$

定理4.5
$$EX=\frac{1}{\lambda },Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

这个定理也留给读者自行证明。

评注 关于指数分布有另一种定义，$EXP(1/\lambda )$，它的密度函数为
$$f_X(x)=\frac{1_{x\ge 0}(x)e^{-\frac{x}{\lambda }}}{\lambda }$$

期望与方差分别为$\lambda ,{\lambda }^2$。

正态分布

正态分布是我们要讨论的重点，它是应用最广泛的一种连续型分布。

推导正态分布的密度(de Moivre-Laplace定理)

考虑二项分布的一些近似计算问题，考虑$X\sim Binom(n,p)$，
$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\cdots ,n$$最主要的计算问题是在计算组合数的时候$$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$$一般会根据这个公式按阶乘来计算，但阶乘的增长是很快的，数字比较大的时候通过阶乘计算组合数精度不理想。如果$n,k,n-k$都比较大，就可以用Stirling公式（数学分析数列极限部分学过）近似计算阶乘：
$$\begin{gathered} n!\approx \sqrt{2\pi }{n}^{n+1/2}{e}^{-n} \\ {C}_n^k\approx \frac{\sqrt{2\pi }{n}^{n+1/2}{e}^{-n}}{(\sqrt{2\pi }(n-k{)}^{n-k+1/2}{e}^{-n+k})(\sqrt{2\pi }{k}^{k+1/2}{e}^{-k})} \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}{\left(\frac{n}{n-k}\right)}^{n-k+1/2}{\left(\frac{n}{k}\right)}^{k+1/2} \end{gathered}$$将这个组合数的近似公式带入二项分布的概率中$$P(X=k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}{\left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)}^{n-k+1/2}{\left(\frac{np}{k}\right)}^{k+1/2}$$这个形式的好处是避开了大整数的阶乘运算。接下来我们进一步做点推导，看看有没有更简单的形式。考虑
$$\ln {\left(\frac{np}{k}\right)}^{k+1/2}=-(k+1/2)\ln \frac{k}{np}$$记$$\begin{gathered} x_k=\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}},k=np+x_k\sqrt{np(1-p)} \\ \ln {\left(\frac{np}{k}\right)}^{k+1/2}=-(np+x_k\sqrt{np(1-p)}+1/2)\ln \left(1+\frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right) \end{gathered}$$取Taylor展开的前两项做近似
$$\ln \left(1+\frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right)\approx \frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}-{\left(\frac{x_k(1-p)}{\sqrt{np(1-p)}}\right)}^2$$回带化简得
$$\begin{gathered} \ln {\left(\frac{np}{k}\right)}^{k+1/2}\approx -x_k\sqrt{np(1-p)}-\frac{1}{2}(1-p)x_k^2 \\ {\left(\frac{np}{k}\right)}^{k+1/2}=\exp \left(-x_k\sqrt{np(1-p)}-\frac{1-p}{2}{x}_k^2\right) \end{gathered}$$类似地$${\left(\frac{n(1-p)}{n-k}\right)}^{n-k+1/2}=\exp \left(x_k\sqrt{np(1-p)}-\frac{p}{2}{x}_k^2\right)$$
因此$$P(X=k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp \left(-\frac{x_k^2}{2}\right)=\frac{\varphi (x_k)}{\sqrt{np(1-p)}}$$称$\varphi (x)$是标准正态分布的密度函数，这个结论叫做de Moivre-Laplace定理。

标准正态分布

现在我们有了标准正态分布的密度函数，
$$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

现证明一下它满足归一性，计算积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

这种形式的积分有点难积，但技巧非常固定，就是凑重积分再换到极坐标下计算，如果${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx<\infty$，则这个积分的值与符号没关系，
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy$$

于是
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy}$$

根据Fubini定理，
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{y^2}{2}}dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy$$

现在我们把这个积分变换到极坐标下，
$$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}\iff \{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta =\arctan \frac{y}{x}\end{array},\theta \in [0,2\pi ],r\in [0,\infty )$$

计算Jacobi行列式
$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right|=r$$

根据积分换元公式，
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}dxdy={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{2\pi }r{e}^{-\frac{r^2}{2}}drd\theta \\ =2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-\frac{r^2}{2}}dr=-2\pi e^{-\frac{r^2}{2}}{|}_0^{\infty }=2\pi \end{gathered}$$

所以
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$$

因此归一性成立。然而遗憾的是，这个技巧仅仅对于积分区域为${\mathbb{R}}^2$的情况才适用，所以当我们要计算标准正态分布的累积分布函数时，就没有办法用这个技巧了，也就是说我们没有办法写出标准正态分布的不含积分的解析式。定义$\Phi (x)$为标准正态分布的累积分布函数，则
$$\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\varphi (t)dt$$

定理4.6 记$X$为标准正态变量，$EX=0,Var(X)=1$
证明
$$EX={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$

其中$x{e}^{-x^2/2}$是奇函数，积分区域关于原点对称，根据积分的性质，${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=0$，于是$EX=0$。下面我们计算$E{X}^2$，
$$\begin{gathered} E{X}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}d\frac{x^2}{2}=-{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }}d{e}^{-\frac{x^2}{2}} \\ =-\frac{x}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}{|}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=1 \end{gathered}$$

第一项是0，第二项就是归一性。因此
$$Var(X)=E{X}^2-(EX{)}^2=1$$

一般的正态分布

定义4.5 一般的正态分布
如果$Z$服从标准正态分布，记为$Z\sim N(0,1)$，如果$\mu ,\sigma \in \mathbb{R}$，$X=\mu +\sigma Z$，则$X$服从一般的正态分布，记为$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，称$Z$是$X$的z-score。

评注
z-score是非常有用的，比如老师要比较不同两届学生中某两位学生的概率论实力，甲那届平均分是60，标准差是10，甲得分是72；乙那届平均分是58，标准差是11，乙得分是71，则甲的z-score是1.2，乙的z-score是13/11大于1.2，于是乙的实力更强。

定理4.7 一般正态分布的pdf
$$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

证明
因为我们还没有推导能处理随机变量的函数的方法，所以只能根据定义来计算。
$$\begin{gathered} F_X(x)=P(X\le x)=P(\mu +\sigma Z\le x) \\ =P(Z\le \frac{x-\mu }{\sigma })={\int }_{\infty }^{\frac{x-\mu }{\sigma }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{gathered}$$

根据这个结果我们可以推导密度函数，需要的技术是对积分上限求导，
$$f_X(x)={\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^{\prime }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}{|}_{t=\frac{x-\mu }{\sigma }}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

下下讲我们会推导计算随机变量的函数的分布的方法。

定理4.8 $EX=\mu ,Var(X)={\sigma }^2$
证明
也就是直接计算了，先计算期望，
$$\begin{gathered} EX={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(x-\mu )}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx+{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mu }{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\mu \end{gathered}$$

第一项就是简单换元，然后就又是奇函数的积分，
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(x-\mu )}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx{=}_{y=x-\mu }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{y}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}}dy=0$$

第二项根据归一性，
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\mu }{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\mu {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx=\mu$$

接下来计算$E{X}^2$，
$$\begin{gathered} E{X}^2={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{[\mu +(x-\mu ){]}^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mu }^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx+{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(x-\mu {)}^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ +{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{2\mu (x-\mu )}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \end{gathered}$$

根据归一性，第一项等于${\mu }^2$，根据奇函数的性质，第三项为0，下面计算第二项，
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(x-\mu {)}^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx{=}_{y=x-\mu }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{y^2}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{y^2}{2{\sigma }^2}}dy \\ {=}_{z=y/\sigma }{\sigma }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{z^2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz \end{gathered}$$

显然${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{z^2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz$是标准正态分布的方差，所以第二项等于${\sigma }^2$，于是$$Var(X)=E{X}^2-(EX{)}^2={\sigma }^2+{\mu }^2-{\mu }^2={\sigma }^2$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的[概统]本科二年级 概率论与数理统计 第四讲 连续型随机变量的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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