UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理7 Kolmogorov extension theorem及其扩展

UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理7 Kolmogorov extension theorem及其扩展

上一讲为了构造包含无限个独立随机变量的序列，我们使用了Kolmogorov extension theorem：

如果在$({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n))$上有概率测度${\nu }_n$，且${\nu }_n$是一致的(consistent)，即$${\nu }_{n+1}((a_1,b_1]\times \cdots \times (a_n,b_n]\times \mathbb{R})={\nu }_n((a_1,b_1]\times \cdots \times (a_n,b_n])$$那么我们可以在可测空间$({\mathbb{R}}^{\infty },\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{\infty }))$上构造唯一一个概率测度$P$，它满足$$P(\{w:w_i\in (a_i,b_i],1\le i\le n\})={\nu }_n((a_1,b_1]\times \cdots \times (a_n,b_n])$$

这一讲我们介绍Kolmogorov extension theorem的证明。另外，基于这个定理，我们只能在样本空间是无穷维的欧氏空间的情况下定义概率，我们希望在其他的无穷维空间上也可以定义概率，于是我们需要对Kolmogorov extension theorem进行扩展，这一讲也会介绍一些相关的推广。

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Kolmogorov扩展定理的证明

Kolmogorov扩展定理有很多版本的证明，这里介绍经典证明的思路以及一种新的证明思路，并附上参考文献。

版本一：基于有限维的测度在无穷维欧氏空间上定义pre-measure，然后用pre-measure导出外测度，再用Caratheodory扩张的思路得到测度（这个是经典的实分析构造测度的思路，版本一超链接点进去的证明比较长，这里有一个简化版本，以及还有一个更详细的版本）

版本二：考虑到$|2^{\mathbb{N}}|=|\mathbb{R}|$，我们可以在自然数集的幂集中讨论问题，也就是用以$2$为底的幂级数代替实数进行分析，虽然得到测度还是需要Caratheodory扩张，但这个版本的证明是最简洁的。

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推广1 standard Borel空间 (nice spaces)
考虑可测空间$(S,\mathcal{S})$，称它是标准Borel空间如果存在从$S$到$\mathbb{R}$的双射$\varphi$，并且$\varphi ,{\varphi }^{-1}$都是可测的，这样的空间也被称为nice space。Kolmogorov extension theorem适用于这样的空间。

推广2 离散型随机变量
Kolmogorov extension theorem适用于离散型随机变量。

推广3 not nice spaces
可以使用Ionescu-Tulcea theorem作为Kolmogorov extension theorem的推广。这里仅给出Ionescu-Tulcea theorem的内容。

首先我们引入一个概念，Markov kernel，可以把它理解为Markov链的状态转移矩阵推广到用映射表示的一种更一般的工具。我们回顾一下状态转移矩阵，$[p_{ij}]$表示从状态$j$转移到状态$i$的概率，抽象成映射的话$j,i$就是输入，输出是一个概率，有了这个思路之后我们尝试给出Markov kernel的正式定义：

假设$(X,\mathcal{A}),(Y,\mathcal{B})$是两个可测空间，定义映射$\kappa :\mathcal{B}\times X\to [0,1]$，满足

给定$B\in \mathcal{B}$, $x\to \kappa (B,x)$是$\mathcal{A}$-可测的；

给定$x\in X$，$B\to \kappa (B,x)$是一个概率测度；

直白的说$\kappa (B,x)$应该表示从状态$x$转移到状态集$B$的概率，称这样的$\kappa$是一个Markov kernel。

推广2指出Kolmogorov extension theorem适用于离散型随机变量，因此也就适用于Markov链，那么如果我们把Markov链推广到了Markov kernel，并给出基于Markov kernel进行extension的做法，我们就可以对一般的概率空间也进行与Kolmogorov extension类似的操作，使之能推广到无穷维了。这就是Ionescu-Tulcea theorem的基本思路。下面我们叙述一下定理内容：

假设$({\Omega }_0,{\mathcal{A}}_0,P_0)$是一个概率空间，$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$是一系列可测空间，$i\ge 1$，对每一个这样的可测空间，我们都可以定义一个$({\Omega }^{i-1},{\mathcal{A}}^{i-1})$与$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$之间的Markov kernel ${\kappa }_i$，其中
$${\Omega }^{i-1}=\prod _{k=0}^{i-1}{\Omega }_k,{\mathcal{A}}^{i-1}={\otimes }_{k=0}^{i-1}{\mathcal{A}}_k$$

对$\sigma$-代数的乘积不太熟悉的读者可以参考乘积测度。则对每一个$({\Omega }_i,{\mathcal{A}}_i)$，存在一个概率测度
$$P_i=P_0\otimes ({\otimes }_{k=1}^i{\kappa }_i)$$

并且在无穷维乘积空间$({\prod }_{k=0}^{\infty }{\Omega }_k,{\otimes }_{k=0}^{\infty }{\mathcal{A}}_k)$上存在唯一的概率测度，它满足
$$P(A\times \prod _{k=i+1}^{\infty }{\Omega }_k)=P_i(A),\forall A\in {\mathcal{A}}^i$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理7 Kolmogorov extension theorem及其扩展的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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