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UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理10 Borel-Cantelli引理

发布时间：2025/4/14 编程问答 67 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理10 Borel-Cantelli引理 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理10 Borel-Cantelli引理

这一讲我们介绍一个非常重要的结果，Borel-Cantelli引理，先引入一些基本概念。

假设(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)是一个概率空间：

lim sup⁡An=∩m≥1∪n≥mAn={w:w属于无数个事件An}\limsup A_n = \cap_{m \ge 1} \cup_{n \ge m}A_n = \{w:w属于无数个事件A_n\}limsupAn​=∩m≥1​∪n≥m​An​={w:w属于无数个事件An​}

我们把这个事件简记为{Ani.o.}\{A_n\ i.o.\}{An​ i.o.} (infinitely often)；
lim inf⁡An=∪m≥1∩n≥mAn={w:w属于所有的An,n≥m0}\liminf A_n = \cup_{m \ge 1} \cap_{n \ge m}A_n = \{w:w属于所有的A_n,n \ge m_0\}liminfAn​=∪m≥1​∩n≥m​An​={w:w属于所有的An​,n≥m0​}

我们把这个事件简记为{Ane.v.}\{A_n\ e.v.\}{An​ e.v.} (eventually)；关于这两个定义有下面的性质：

  • {Ani.o.}⊃{Ane.v.}\{A_n\ i.o.\} \supset \{A_n\ e.v.\}{An​ i.o.}⊃{An​ e.v.}
  • {Ani.o.}C={AnCe.v.}\{A_n\ i.o.\}^C=\{A_n^C \ e.v.\}{An​ i.o.}C={AnC​ e.v.}
  • 如果An↑A_n \uparrowAn​↑，则{Ani.o.}={Ane.v.}=∪k≥1Ak\{A_n\ i.o.\}=\{A_n \ e.v.\}=\cup_{k \ge 1}A_k{An​ i.o.}={An​ e.v.}=∪k≥1​Ak​
  • 如果An↓A_n \downarrowAn​↓，则{Ani.o.}={Ane.v.}=∩k≥1Ak\{A_n\ i.o.\}=\{A_n \ e.v.\}=\cap_{k \ge 1}A_k{An​ i.o.}={An​ e.v.}=∩k≥1​Ak​

    • 引理1 E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞，的充要条件是∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
    ∑n≥0P(∣X∣>nϵ)<∞\sum_{n \ge 0}P(|X|>n\epsilon)<\inftyn≥0∑​P(∣X∣>nϵ)<∞

    证明
    ∑n≥0P(∣X∣>nϵ)=∑n≥0E[1∣X∣>nϵ]=E[∑n≥01∣X∣>nϵ]=E[⌊∣X∣/ϵ⌋]\sum_{n \ge 0}P(|X|>n\epsilon) = \sum_{n \ge 0}E[1_{|X|>n\epsilon}] = E[ \sum_{n \ge 0}1_{|X|>n\epsilon}] = E[\lfloor |X|/\epsilon \rfloor]n≥0∑​P(∣X∣>nϵ)=n≥0∑​E[1∣X∣>nϵ​]=E[n≥0∑​1∣X∣>nϵ​]=E[⌊∣X∣/ϵ⌋]

    最后那一项下半方括号表示不大于∣X∣/ϵ|X|/\epsilon∣X∣/ϵ的最大整数。

    ⇒\Rightarrow⇒: 如果E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞，则
    E[⌊∣X∣/ϵ⌋]≤E[∣X∣/ϵ]=E∣X∣/ϵ<∞E[\lfloor |X|/\epsilon \rfloor] \le E[|X|/\epsilon]=E|X|/\epsilon<\inftyE[⌊∣X∣/ϵ⌋]≤E[∣X∣/ϵ]=E∣X∣/ϵ<∞

    ⇐\Leftarrow⇐: 如果∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
    ∑n≥0P(∣X∣>nϵ)<∞\sum_{n \ge 0}P(|X|>n\epsilon)<\inftyn≥0∑​P(∣X∣>nϵ)<∞

    取ϵ=1\epsilon=1ϵ=1，则
    +∞>∑n≥0P(∣X∣>nϵ)=E[⌊∣X∣/ϵ⌋]=E[⌊∣X∣⌋]≥E∣X∣−1+\infty>\sum_{n \ge 0}P(|X|>n\epsilon)=E[\lfloor |X|/\epsilon \rfloor] = E[\lfloor |X| \rfloor] \ge E|X|-1+∞>n≥0∑​P(∣X∣>nϵ)=E[⌊∣X∣/ϵ⌋]=E[⌊∣X∣⌋]≥E∣X∣−1

    于是E∣X∣<∞E|X|<\inftyE∣X∣<∞

    推论
    E[∣X∣k]<∞E[|X|^k]<\inftyE[∣X∣k]<∞的充要条件是∀ϵ>0\forall \epsilon>0∀ϵ>0，
    ∑n≥0P(∣X∣k>nϵ)<∞,∀k≥1\sum_{n \ge 0}P(|X|^k>n\epsilon)<\infty,\forall k \ge 1n≥0∑​P(∣X∣k>nϵ)<∞,∀k≥1

    引理2
    P(∪n≥mAn)=1,∀m≥1⇒P(∩m≥1∪n≥mAn)=1P(\cup_{n \ge m}A_n)=1,\forall m \ge 1 \Rightarrow P(\cap_{m \ge 1}\cup_{n \ge m}A_n)=1P(∪n≥m​An​)=1,∀m≥1⇒P(∩m≥1​∪n≥m​An​)=1

    证明
    {Ani.o.}C=∪m≥1(∪n≥mAn)C\{A_n\ i.o.\}^C = \cup_{m \ge 1}(\cup_{n \ge m}A_n)^C{An​ i.o.}C=∪m≥1​(∪n≥m​An​)C

    所以
    P({Ani.o.}C=P(∪m≥1(∪n≥mAn)C)≤∑m≥1P((∪n≥mAn)C)=0P(\{A_n\ i.o.\}^C = P(\cup_{m \ge 1}(\cup_{n \ge m}A_n)^C) \le \sum_{m \ge 1}P((\cup_{n \ge m}A_n)^C)=0P({An​ i.o.}C=P(∪m≥1​(∪n≥m​An​)C)≤m≥1∑​P((∪n≥m​An​)C)=0

    Borel-Cantelli引理1 如果∑n≥1P(An)<∞\sum_{n \ge 1}P(A_n)<\infty∑n≥1​P(An​)<∞，则P(Ani.o.)=0P(A_n\ i.o.)=0P(An​ i.o.)=0

    证明
    ∀m0≥1\forall m_0 \ge 1∀m0​≥1, 根据概率的次可加性，
    P(Ani.o.)=P(∩m≥1∪n≥mAn)≤P(∪n≥m0An)≤∑n≥m0P(An)P(A_n\ i.o.)=P(\cap_{m \ge 1} \cup_{n \ge m}A_n) \le P(\cup_{n \ge m_0}A_n) \le \sum_{n \ge m_0}P(A_n)P(An​ i.o.)=P(∩m≥1​∪n≥m​An​)≤P(∪n≥m0​​An​)≤n≥m0​∑​P(An​)

    于是
    P(Ani.o.)=lim⁡m0→∞∑n≥m0P(An)=0P(A_n\ i.o.) = \lim_{m_0 \to \infty}\sum_{n \ge m_0}P(A_n) = 0P(An​ i.o.)=m0​→∞lim​n≥m0​∑​P(An​)=0

    例
    比如An=(0,1/n)A_n=(0,1/n)An​=(0,1/n)，Ω=(0,1)\Omega = (0,1)Ω=(0,1)，则
    lim sup⁡An=lim inf⁡An=ϕ\limsup A_n = \liminf A_n = \philimsupAn​=liminfAn​=ϕ

    也就是说P(Ani.o.)=0P(A_n\ i.o.)=0P(An​ i.o.)=0，用几何概型
    ∑n≥1P(An)=∑n≥11n=∞\sum_{n \ge 1}P(A_n) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n} = \inftyn≥1∑​P(An​)=n≥1∑​n1​=∞

    这是不是就说明Borel-Cantelli引理1不成立呢？

    答案是不，因为Borel-Cantelli引理1的逆命题是不成立的，也就是说如果P(Ani.o.)=0P(A_n\ i.o.)=0P(An​ i.o.)=0，我们推不出∑n≥1P(An)<∞\sum_{n \ge 1}P(A_n)<\infty∑n≥1​P(An​)<∞。

    Borel-Cantelli引理2 如果AnA_nAn​互相独立，且∑n≥1P(An)=∞\sum_{n \ge 1}P(A_n) = \infty∑n≥1​P(An​)=∞，则P(Ani.o.)=1P(A_n\ i.o.)=1P(An​ i.o.)=1

    证明
    根据引理2，我们只需证明P(∪n≥mAn)=1,∀m≥1P(\cup_{n \ge m}A_n)=1,\forall m \ge 1P(∪n≥m​An​)=1,∀m≥1即可，考虑
    1−P(∪n=mNAn)=P(∩n=mNAnC)=∏n=mNP(AnC)=∏n=mN(1−P(An))≤e−∑n=mNP(An)→01-P(\cup_{n=m}^N A_n) = P(\cap_{n=m}^NA_n^C) = \prod_{n=m}^NP(A_n^C) \\ = \prod_{n=m}^N(1-P(A_n)) \le e^{-\sum_{n=m}^N P(A_n)} \to 01−P(∪n=mN​An​)=P(∩n=mN​AnC​)=n=m∏N​P(AnC​)=n=m∏N​(1−P(An​))≤e−∑n=mN​P(An​)→0

    最后一步用的Bernoulli不等式1−x≤e−x1-x \le e^{-x}1−x≤e−x，因此P(∪n≥mAn)=1P(\cup_{n \ge m}A_n)=1P(∪n≥m​An​)=1

    总结

    以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理10 Borel-Cantelli引理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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