UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理21 Skorohod定理的证明
UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理21 Skorohod定理的证明
Skorohod定理
如果Fn⇒FF_n \Rightarrow FFn⇒F，则存在以FnF_nFn为cdf的YnY_nYn与以FFF为cdf的YYY，使得Yn→a.s.YY_n \to_{a.s.} YYn→a.s.Y。
证明
简单起见，因为(0,1)(0,1)(0,1)与R\mathcal{R}R是同胚，我们考虑Ω=(0,1)\Omega = (0,1)Ω=(0,1)，F=B((0,1))\mathcal{F} = \mathcal{B}((0,1))F=B((0,1))，PPP是均匀概率测度，∀x∈Ω\forall x \in \Omega∀x∈Ω，定义
Yn(x)=sup{y:Fn(y)<x}Y(x)=sup{y:F(y)<x}Y_n(x) = \sup\{y:F_n(y)<x\} \\ Y(x) = \sup\{y:F(y)<x\}Yn(x)=sup{y:Fn(y)<x}Y(x)=sup{y:F(y)<x}
这其实是分位点的一般性定义，于是Yn∼Fn,Y∼FY_n \sim F_n,Y \sim FYn∼Fn,Y∼F。定义
a(x)=sup{y:F(y)<x}b(x)=inf{y:F(y)>x}Ω0={x:(a(x),b(x))=ϕ}a(x) = \sup\{y:F(y)<x\} \\ b(x) = \inf\{y:F(y)>x\} \\ \Omega_0 = \{x:(a(x),b(x)) =\phi\}a(x)=sup{y:F(y)<x}b(x)=inf{y:F(y)>x}Ω0={x:(a(x),b(x))=ϕ}
如果(a(x),b(x))≠ϕ(a(x),b(x)) \ne \phi(a(x),b(x))=ϕ，就说明分布函数有一段是平的，显然Ω∖Ω0\Omega \setminus \Omega_0Ω∖Ω0可列。要说明Yn→a.s.YY_n \to_{a.s.} YYn→a.s.Y，我们需要Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0Y_n(x) \to Y(x),\forall x\in \Omega_0Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0。
∀x∈Ω0\forall x \in \Omega_0∀x∈Ω0，a(x)=b(x)a(x)=b(x)a(x)=b(x)，根据定义
F(y)<x,∀y<a(x)=Y(x)F(z)>x,∀z>b(x)=Y(x)F(y)<x,\forall y<a(x) = Y(x) \\ F(z)>x,\forall z>b(x)=Y(x)F(y)<x,∀y<a(x)=Y(x)F(z)>x,∀z>b(x)=Y(x)
于是
lim infYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0\liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0liminfYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0
因为F(y)<x,Fn(x)→F(x)F(y)<x,F_n(x) \to F(x)F(y)<x,Fn(x)→F(x)，根据极限的保号性，Fn(y)<xF_n(y)<xFn(y)<x，于是y≤Yn(x)y \le Y_n(x)y≤Yn(x)，所以lim infYn(x)≥y\liminf Y_n(x) \ge yliminfYn(x)≥y，取一列yyy使其递增收敛到Y(x)Y(x)Y(x)，根据连续性，lim infYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0\liminf Y_n(x) \ge Y(x),\forall x \in \Omega_0liminfYn(x)≥Y(x),∀x∈Ω0
类似的，
lim supYn(x)≤Y(x),∀x∈Ω0\limsup Y_n(x) \le Y(x),\forall x \in \Omega_0limsupYn(x)≤Y(x),∀x∈Ω0
于是
Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0Y_n(x) \to Y(x),\forall x \in \Omega_0Yn(x)→Y(x),∀x∈Ω0
总结
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