UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理22 度量概率空间中的弱收敛 Portmanteau定理

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现在我们讨论度量空间中的弱收敛，假设$(\Omega ,d)$是一个度量空间，$(\Omega ,\mathcal{F},P)$是一个概率空间，$X_n,X$是定义在$\Omega$上的随机变量，它们的分布为${\mu }_n,\mu$。

Portmanteau定理
关于依分布收敛，下面的叙述等价：

$X_n{\to }_{d}X$

对任意开集$G$，$\mathrm{liminf}P(X_n\in G)\ge P(X\in G)$

对任意闭集$K$，$\mathrm{limsup}P(X_n\in K)\le P(X\in K)$

对任意集合$A$，如果$P(X\in \partial A)=0$，则$\lim P(X_n\in A)=P(X\in A)$

关于弱收敛，下面的叙述等价：

${\mu }_n\Rightarrow \mu$

对任意开集$G$，$\mathrm{liminf}{\mu }_n(G)\ge \mu (G)$

对任意闭集$K$，$\mathrm{limsup}{\mu }_n(K)\le \mu (K)$

对任意集合$A$，如果$\mu (\partial A)=0$，则$\mu (A_n)\to \mu (A)$

证明的路径是$1\Rightarrow 3\Rightarrow 2\Rightarrow 4\Rightarrow 1$，贴一份Durrett的证明

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总结

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