UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子
UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子
例2
均匀金属空心外壳厚度可忽略的接地球球心位于原点，半径为aaa，用球坐标(r,θ,ϕ)(r,\theta,\phi)(r,θ,ϕ)描述，球面上边界条件为Φ=Φ(a,θ,ϕ)\Phi=\Phi(a,\theta,\phi)Φ=Φ(a,θ,ϕ)，计算球内的电场。
解
V={r⃗:∣r⃗∣<R}V=\{\vec r:|\vec r| < R\}V={r:∣r∣<R}，边界为S={r⃗:∣r⃗∣=R}S=\{\vec r:|\vec r|=R\}S={r:∣r∣=R}，Dirichlet条件为Φ(r⃗)=0,∀r⃗∈S\Phi(\vec r)=0,\forall \vec r \in SΦ(r)=0,∀r∈S；写出Green函数：
G(r⃗,r⃗′)=1∣r⃗−r⃗′∣+F(r⃗,r⃗′)G(\vec r,\vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+F(\vec r, \vec r')G(r,r′)=∣r−r′∣1+F(r,r′)
为简化起见，我们假设沿r⃗′\vec r'r′的方向存在一个image charge，我们假设它的电荷量为q′q'q′，用n^′\hat n'n^′表示与r⃗′\vec r'r′平行的SSS的外法向，则image charge的位置可以表示为r⃗′′=r′′n^′\vec r'' = r''\hat n'r′′=r′′n^′；假设测试电荷的位置为r⃗\vec rr，与它平行的SSS的外法向为n^\hat nn^，假设n^\hat nn^与n^′\hat n'n^′的夹角为γ\gammaγ；于是
G(r⃗,r⃗′)=1∣r⃗−r⃗′∣+q′∣r⃗−r⃗′′∣=1∣rn^−r′n^′∣+q′∣rn^−r′′n^∣G(\vec r, \vec r')=\frac{1}{|\vec r - \vec r'|}+\frac{q'}{|\vec r - \vec r''|} = \frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|}G(r,r′)=∣r−r′∣1+∣r−r′′∣q′=∣rn^−r′n^′∣1+∣rn^−r′′n^∣q′
其中q′q'q′与r′′r''r′′是未知参数，我们需要用image charge的性质，解出这两个参数。根据G(r⃗,r⃗′)∣r⃗∈S=0G(\vec r,\vec r')|_{\vec r \in S}=0G(r,r′)∣r∈S=0，我们可以得到：
1∣rn^−r′n^′∣+q′∣rn^−r′′n^∣=1r∣n^−r′rn^′∣+q′r′′∣rr′′n^−n^′∣=0r=a\frac{1}{|r \hat n-r'\hat n'|}+\frac{q'}{|r \hat n-r''\hat n|} = \frac{1}{r|\hat n - \frac{r'}{r}\hat n'|}+\frac{q'}{r''| \frac{r}{r''}\hat n-\hat n'|}=0 \\ r=a∣rn^−r′n^′∣1+∣rn^−r′′n^∣q′=r∣n^−rr′n^′∣1+r′′∣r′′rn^−n^′∣q′=0r=a
一种可行的解是
{q′r′′=−1r=−1arr′′=ar′′=r′r=r′a⇒{q′=−ar′2r′′=a2r′\begin{cases} \frac{q'}{r''}=-\frac{1}{r} = -\frac{1}{a} \\ \frac{r}{r''} = \frac{a}{r''}=\frac{r'}{r}=\frac{r'}{a} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} q' = -\frac{a}{r'^2} \\ r'' = \frac{a^2}{r'} \end{cases}{r′′q′=−r1=−a1r′′r=r′′a=rr′=ar′⇒{q′=−r′2ar′′=r′a2
需要注意的是r⃗′\vec r'r′的方向就是边界的一个外法线方向n^′\hat n'n^′，测试电荷的位置r⃗\vec rr的方向也是边界的一个外法线方向n^\hat nn^，记这两个外法线方向夹角为γ\gammaγ，则在球坐标中：
r⃗=r(sinθcosϕ,sinθ,sinϕ,cosθ)cosγ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(ϕ−ϕ′)\vec r = r(\sin \theta\cos \phi,\sin \theta,\sin \phi,\cos \theta) \\ \cos \gamma= \cos \theta \cos \theta'+\sin \theta \sin \theta' \cos (\phi-\phi')r=r(sinθcosϕ,sinθ,sinϕ,cosθ)cosγ=cosθcosθ′+sinθsinθ′cos(ϕ−ϕ′)
现在我们就可以把Green函数在球坐标系下的表达式写出来了，
G=1r2+r′2−2rr′cosγ−1r2r′2a2+a2−2rr′cosγG =\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2-2rr'\cos \gamma}}-\frac{1}{\sqrt{\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma}}G=r2+r′2−2rr′cosγ1−a2r2r′2+a2−2rr′cosγ1
Dirichlet问题的积分解：
Φ(r⃗)=∫Vρ(r⃗′)G(r⃗,r⃗′)dx′dy′dz′−14π∮S(V)Φ(r⃗′)∂G∂ndS\Phi(\vec r) = \int_V \rho(\vec r')G(\vec r,\vec r')dx'dy'dz'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S(V)} \Phi(\vec r')\frac{\partial G}{\partial n}dSΦ(r)=∫Vρ(r′)G(r,r′)dx′dy′dz′−4π1∮S(V)Φ(r′)∂n∂GdS
因为这个题目球的内部没有source，所以第一项为零，于是我们只需计算
∂G∂n=∂G∂r′=−r′−rcosγ(r2+r′2−2rr′cosγ)3/2+r2r′a2−rcosγ(r2r′2a2+a2−2rr′cosγ)3/2∂G∂n∣r′=a=r2−a2a(r2+a2−2arcosγ)3/2\frac{\partial G}{\partial n}=\frac{\partial G}{\partial r'}=-\frac{r'-r \cos \gamma}{(r^2+r'^2-2rr' \cos \gamma)^{3/2}}\\ + \frac{\frac{r^2r'}{a^2}-r\cos \gamma}{(\frac{r^2r'^2}{a^2}+a^2-2rr'\cos \gamma)^{3/2}} \\ \frac{\partial G}{\partial n}|_{r'=a} = \frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}∂n∂G=∂r′∂G=−(r2+r′2−2rr′cosγ)3/2r′−rcosγ+(a2r2r′2+a2−2rr′cosγ)3/2a2r2r′−rcosγ∂n∂G∣r′=a=a(r2+a2−2arcosγ)3/2r2−a2
因此结果为
Φ(r,θ,ϕ)=−14π∮SΦ(a′,θ′ϕ′)r2−a2a(r2+a2−2arcosγ)3/2dS\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\oint_S \Phi(a',\theta'\phi')\frac{r^2-a^2}{a(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}dSΦ(r,θ,ϕ)=−4π1∮SΦ(a′,θ′ϕ′)a(r2+a2−2arcosγ)3/2r2−a2dS
其中dS=a2sinθdθdϕdS = a^2\sin \theta d \theta d\phidS=a2sinθdθdϕ, 因此
Φ(r,θ,ϕ)=−14π∬Φ(a′,θ′ϕ′)a(r2−a2)sinθ(r2+a2−2arcosγ)3/2dθdϕ\Phi(r,\theta,\phi)=-\frac{1}{4 \pi}\iint \Phi(a',\theta'\phi')\frac{a(r^2-a^2)\sin \theta}{(r^2+a^2-2ar\cos \gamma)^{3/2}}d\theta d\phiΦ(r,θ,ϕ)=−4π1∬Φ(a′,θ′ϕ′)(r2+a2−2arcosγ)3/2a(r2−a2)sinθdθdϕ
总结
以上是生活随笔为你收集整理的UA PHYS515 电磁理论II 静电场问题5 用Green函数法求解interior Dirichlet问题的例子的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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