物理光学11 衍射的基本概念与惠更斯原理

物理光学11 衍射的基本概念与惠更斯原理

• • Huygens-Fresnel原理
  • 菲涅耳衍射
  • 夫琅禾费衍射

衍射（Diffraction）是光“绕开”障碍物传播的现象，也叫绕射。几何光学认为光在均匀介质中沿直线传播，所以绕射有悖于几何光学对光路的预测。但绕射的原理其实也很好理解，光既然是一种波，我们可以用声波来类比它，波前上任一点都可以是一个源，产生出新的波形继续向外传播（其实就是惠更斯原理的思想），因此“绕开”障碍物的光相当于是波前上的点“衍生”出来的，这就是把这种现象叫做衍射的理由。另外，这里对于衍射的简单解释前提是光是一种电磁波，所以衍射被归在物理光学中。

Huygens-Fresnel原理

用$S$表示某个点光源，它的电场强度为$E_S$，它发出的光沿$z$方向传播，距离$S$为$z_S$的位置有一个Aperture，距离Aperture为$z$的位置有一个观察者$P$，根据电偶极子radiation的结论，对于Aperture上距离$S$为$r_S$的点$Q$，
$$E_Q=\frac{E_S}{r_S}{e}^{ik{r}_S}$$

根据惠更斯原理，点$Q$可以看成一个新的点光源，记$|PQ|=r$，则继续使用radiation的结论，点$Q$传播到$P$处时，电场为
$$\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}$$

假设Aperture的透光部分面积为$A$，则$P$点处的观察者看到的光就是面积分
$$E_P={\iint }_A\frac{E_Q}{r}{e}^{ikr}dA=E_S{\iint }_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}dA$$

这就是根据光的波动说结合关于描述波的传播的惠更斯原理得到的一个直观结果（很难用于实际计算），在Fresnel等人的衍射实验证明了光的传播确实可以存在绕射行为以后，这个结果才逐渐被人接受。

菲涅耳衍射

假设$A$的尺度远大于光的波长，并且观察距离$z$远大于波长，比如照相机的孔相比于光的波长就是超级大的，照相机与摄影对象的物理之间的距离与波长相比也是超级大的，则用Maxwell方程也可以导出$P$处的电场
$$E_p\propto \frac{i}{\lambda }{\iint }_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (-\hat{z},\hat{r})-\cos (-\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA$$

可以发现惠更斯原理与Maxwell方程得到的结果基本匹配，因为在paraxial approximation下，
$$\cos (-\hat{z},\hat{r})\approx 1,\cos (-\hat{z},{\hat{r}}_S)\approx =-1$$

Fresnel认为观察距离$z$也是远大于$A$的尺度的，所以
$$\frac{e^{ik{r}_S}}{r_S}\approx \frac{e^{ik{r}_S}}{z_S},\frac{e^{ikr}}{r}\approx \frac{e^{ikr}}{z}$$

于是
$$\begin{gathered} {\iint }_A\frac{e^{ik(r_S+r)}}{r_{S}r}\underset{obliguityfactor}{\frac{1}{2}[\cos (-\hat{z},\hat{r})-\cos (-\hat{z},{\hat{r}}_S)]}dA \\ \propto {\iint }_A{e}^{ik(r_S+r)}dA \end{gathered}$$

综上，在近轴近似下，光学系统满足
$$E_p\propto {\iint }_A{e}^{ik(r_S+r)}dA$$

这个结果被称为Fresnel Diffraction。

夫琅禾费衍射

现在不考虑近轴近似，但假设观察尺度远超过电磁波的尺度，以至于在Aperture附近与观察者的位置附近，光的波前都可以近似为平面，这种衍射就是远场(far-field)衍射或者Fraunhofer衍射。

那么多远才够的上far-field呢？我们可以尝试推导可以将球面波近似为平面波的条件

要使球面波近似为平面波，那么原来的球面波到达Aperture上各点的最大相位差必须远小于一个周期，也就是最大光程差要远小于一个波长，那么
$$\begin{gathered} r_S-z_S<<\lambda \\ \sqrt{z_S^2+D^2/4}-z_S<<\lambda \\ {z}_S>>\frac{D^2}{2\lambda } \end{gathered}$$

这就是光源到Aperture的距离应该满足的远场条件；同理，观察者距离Aperture的距离也要满足
$$z>>\frac{D^2}{2\lambda }$$

比如单孔衍射中孔径为$D=5mm$，光的波长为$\lambda =500nm$，那么
$$\frac{D^2}{2\lambda }=25m$$

也就是说用这两个参数做衍射实验，观察者要到远超25米外的位置上才有可能观察到夫琅禾费衍射。显然这在实验室中可操作性太低了，所以通常选择用凸透镜在Aperture前得到平行光，再在观察者前用凸透镜让平行光聚焦观察衍射现象。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的物理光学11 衍射的基本概念与惠更斯原理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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