UA OPTI570 量子力学8 每一个左矢都有与之对应的右矢吗？

UA OPTI570 量子力学8 每一个左矢都有与之对应的右矢吗？

• • 反例1：Dirac函数
  • 反例2：Truncated Plane Wave

量子态空间$\mathcal{E}$中的元素被称为右矢，用$|⟩$括住一个符号表示，比如$|\psi ⟩$，它的物理含义是一个粒子的量子态，每一个右矢都存在与之对应的左矢$⟨\psi |$，左矢的本质是一个线性函数，它作用在左矢上得到一个数值。这一讲试图回答一个问题：既然每一个右矢都有与之对应的左矢，那么每个左矢都能对应到一个右矢吗？答案是不！

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反例1：Dirac函数

引入函数${\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)$，它长下面这样，

当$ϵ\ne 0$是，${\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)$可以作为波函数，它对应的右矢记为$|{\xi }_{x_0}^{ϵ}⟩$，记$⟨{\xi }_{x_0}^{ϵ}|$是这个右矢对应的左矢，则$\forall |\psi ⟩\in \mathcal{E}$，
$$⟨{\xi }_{x_0}^{ϵ}|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)\psi (x)dx$$

因为${\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)$与$\psi (x)$都是$L^2$的函数，所以它们的内积用函数乘积的积分表示。定义
$${\xi }_{x_0}(x)=\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)$$

显然${\xi }_{x_0}(x)$是$\delta (x-x_0)$，它并不能作为波函数，也就是说
$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }|{\xi }_{x_0}^{ϵ}⟩\notin \mathcal{E}$$

但是根据Dirac函数的sifting property，
$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)\psi (x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\xi }_{x_0}^{ϵ}(x)\psi (x)dx=\psi (x_0)$$

也就是说存在$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }⟨{\xi }_{x_0}^{ϵ}|=⟨{\xi }_{x_0}|$$

满足
$$⟨{\xi }_{x_0}|\psi ⟩=\psi (x_0)$$

但是它对应的右矢不存在。由此我们可以发现要构造不存在与之对应的右矢的左矢这样的例子只需要用不属于波函数空间的基就行，在这个例子中我们用了Dirac函数，那么与之类似的plane wave也可以用。

反例2：Truncated Plane Wave

定义Truncated Plane Wave:
$$v_{p_0}^{(L)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{i{p}_{0}x/\hslash },\forall x\in [-L/2,L/2]$$

因为波函数需要infinitely differentiable，所以假设在这个区间外函数值很快降为0，记它对应的右矢为$|v_{p_0}^{(L)}⟩$，则与上例类似：
$$\begin{gathered} \underset{L\to \infty }{\lim }|v_{p_0}^{(L)}⟩\notin \mathcal{E} \\ \underset{L\to \infty }{\lim }⟨v_{p_0}^{(L)}|=⟨v_{p_0}|,⟨v_{p_0}|\psi ⟩=\bar{\psi }(p_0) \end{gathered}$$

$\bar{\psi }(p_0)$是$\psi (x)$的Fourier变换在$p=p_0$处的取值。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学8 每一个左矢都有与之对应的右矢吗？的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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