UA OPTI570 量子力学18 量子谐振子基础

UA OPTI570 量子力学18 量子谐振子基础

• • 经典谐振子
  • 量子谐振子
  • 用创生与湮灭算符表示量子谐振子
  • • Hamiltonian的特征值
    • Hamiltonian的特征值对应的量子态

量子谐振子（quantum harmonic oscillator, Q.H.O.）是谐振子在量子力学中的延申，也是量子力学中的一个重要模型，从这一篇开始我们介绍它的一些基础知识。

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经典谐振子

考虑一维的简谐振子，在天花板上吊一根弹簧，弹簧下连接一个质量为$m$的质点，用$x$表示质点偏离初始位置的距离（向地板方向为正），在任意时刻，这个系统的总能量为
$$E=\frac{P^2}{2m}+\frac{m{w}^2{x}^2}{2}$$

其中$P$表示质点在该时刻的动量，$w$表示质点在该时刻的角频率（称之为简谐频率），因为
$$P=mv=m\frac{d}{dt}x$$

由此在有初始条件时，根据能量守恒可以列出关于$x$的微分方程，求解微分方程就能得到质点的运动轨迹了。比如在$t=0$时，把质点往下拉$x_0$，则$x(t)$呈现余弦波形，且周期为
$$T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi }{w}$$

其中$f$是频率。

量子谐振子

在之前介绍Ehrenfest定理的时候，我们知道了经典力学与量子力学的对应简单来说就是把经典力学中的物理量用量子力学中的算符表示，比如总能量用Hamiltonian表示，动量用动量算符表示，位置用位置算符表示，则
$$\hat{H}=\frac{{\hat{P}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{w}^2\hat{X}$$

按量子力学讨论算符的方法，接下来我们：

定义一些常用的参数，比如harmonic oscillator length$$\sigma =\sqrt{\frac{\hslash }{mw}}$$

用harmonic oscillator length对算符与数值做scaling$$\tilde{X}=\frac{\hat{X}}{\sigma },\tilde{P}=\frac{\sigma \hat{P}}{\hslash },{\tilde{E}}_n=\frac{E_n}{\hslash w},\tilde{H}=\frac{\hat{H}}{\hslash w}$$

写出scaling后的Hamiltonian：$$\tilde{H}=\frac{{\tilde{P}}^2+{\tilde{X}}^2}{2}$$其中$[\tilde{X},\tilde{P}]=i$

写出Hamiltonian的特征方程：$$\tilde{H}|{\psi }_n⟩={\tilde{E}}_n|{\psi }_n⟩$$

可以用位置表象计算，也可以用动量表象计算；在这两种表象下，各个算符的对应关系为

位置表象动量表象

$$\begin{gathered} \tilde{X}\to \tilde{x}=\frac{x}{\sigma } \\ \tilde{P}\to -i\frac{\partial }{\partial \tilde{X}} \\ \tilde{H}\to \frac{1}{2}{\tilde{X}}^2-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{X}}^2} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \tilde{P}\to \tilde{p}=\frac{p\sigma }{\hslash } \\ \tilde{X}\to i\frac{\partial }{\partial \tilde{P}} \\ \tilde{H}\to \frac{1}{2}{\tilde{P}}^2-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{P}}^2} \end{gathered}$$

在位置表象下，需要求解
$$\frac{1}{2}\left({\tilde{X}}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{X}}^2}\right){\psi }_n(\tilde{X})={\tilde{E}}_n{\psi }_n(\tilde{X})$$

在动量表象下，需要求解
$$\frac{1}{2}\left({\tilde{P}}^2-\frac{{\partial }^2}{\partial {\tilde{P}}^2}\right){\bar{\psi }}_n(\tilde{P})={\tilde{E}}_n{\bar{\psi }}_n(\tilde{P})$$

也就是说在这两种表象下，要求解的PDE是一样的，其中
$${\bar{\psi }}_n(\tilde{P})=FT[{\psi }_n(\tilde{X})](\tilde{P})$$

也就是说以上PDE的解做Fourier变换后的函数形式与它本身一致。

用创生与湮灭算符表示量子谐振子

在Q.H.O.中，求解Hamiltonian的特征方程指的是找到${\tilde{E}}_n$的表达式，并得到${\tilde{E}}_n$对应的量子态的表达式。上一篇介绍了创生算符与湮灭算符的数学基础，要在量子力学中应用这个工具需要在具体问题中构造创生算符，在Q.H.O.中，可以定义湮灭算符为
$$\hat{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}+i\tilde{P})$$

验证：
$$[\hat{A},{\hat{A}}^{†}]=[\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}+i\tilde{P}),\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{X}-i\tilde{P})]=\frac{-i}{2}2[\tilde{X},\tilde{P}]=1$$

把所有的算符都用创生算符与湮灭算符表示：
$$\tilde{X}=\frac{{\hat{A}}^{†}+\hat{A}}{\sqrt{2}},\tilde{P}=\frac{{\hat{A}}^{†}-\hat{A}}{\sqrt{2}}\Rightarrow \tilde{H}={\hat{A}}^{†}\hat{A}+\frac{1}{2}=\hat{N}+\frac{1}{2}$$

于是1-D Q.H.O.的定义可以表示为
$$\tilde{H}\propto {\hat{A}}^{†}\hat{A},[\hat{A},{\hat{A}}^{†}]\propto \hat{1}$$

Hamiltonian的特征值

现在考虑Hamiltonian的特征方程：
$$\begin{gathered} \tilde{H}|{\psi }_n⟩={\tilde{E}}_n|{\psi }_n⟩ \\ (\hat{N}+1/2)|{\psi }_n⟩={\tilde{E}}_n|{\psi }_n \\ \hat{N}|{\psi }_n⟩=({\tilde{E}}_n-1/2)|{\psi }_n⟩ \end{gathered}$$

根据上一讲的结果，
$$\begin{gathered} {\tilde{E}}_n=n+\frac{1}{2},n\in {\mathbb{R}}^{+}\cap \mathbb{Z} \\ {E}_n=\hslash w\left(n+\frac{1}{2}\right) \end{gathered}$$

Hamiltonian的特征值对应的量子态

现在考虑$|{\psi }_n⟩$，$N$的特征方程为
$$N|{\psi }_n⟩=n|{\psi }_n⟩$$

上一讲介绍了$N$的特征态的公式，直接使用可得
$$|{\psi }_n⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}({\hat{A}}^{†}{)}^n|{\psi }_0⟩$$

称$|{\psi }_0⟩$为ground state，它对应能量最小的量子态，即能量为$\frac{1}{2}\hslash w$。这些特征态可以用三种表象：位置表象、动量表象、能量表象，位置表象我们比较熟悉了，这里先介绍一下能量表象。

能量表象
因为$|{\psi }_n⟩$就是能量对应的量子态，所以以$|{\psi }_n⟩$为基表示左矢、右矢、算符就是能量表象，比如算符$\hat{B}$，要计算它的能量表象可以借助closure relation
$$\begin{gathered} \hat{B}=\hat{1}\hat{B}\hat{1}=\sum _{n=0}^{+\infty }|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_n|\hat{B}\sum _{m=0}^{+\infty }|{\psi }_m⟩⟨{\psi }_m| \\ =\sum _{n,m}⟨{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m⟩|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_m| \end{gathered}$$

其中$(⟨{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m⟩)$是$\hat{B}$的矩阵表示，括号中的元素代表矩阵的第$n$行第$m$列的元素，$|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_m|$叫connector，它也是一个矩阵，但除了第$n$行第$m$列的元素为1外，其他元素均为0；假设$\hat{B}=\hat{N}$，则
$$⟨{\psi }_n|\hat{B}|{\psi }_m⟩=⟨{\psi }_n|\hat{N}|{\psi }_m⟩=m{\delta }_{mn}$$

所以
$$\hat{N}=\sum _{n,m}⟨{\psi }_n|\hat{N}|{\psi }_m⟩|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_m|=\sum _{n,m}m{\delta }_{mn}|{\psi }_n⟩⟨{\psi }_m|=\sum _{m}m|{\psi }_m⟩⟨{\psi }_m|$$

这是主对角元分别为$0,1,2,\cdots ,n,\cdots$的对角矩阵，代入到Hamiltonian中，
$$\hat{H}=\hslash w(\hat{N}+1/2)$$

也就是说Hamiltonian是主对角元分别为$\frac{1}{2}\hslash w,\frac{3}{2}\hslash w,\frac{5}{2}\hslash w,\cdots ,\frac{2n+1}{2}\hslash w,\cdots$的对角矩阵。同样的也可以写出湮灭算符的能量表象：
$$\begin{gathered} {\hat{A}}^{†}|{\psi }_m⟩=\sqrt{m+1}|{\psi }_{m+1}⟩ \\ ⟨{\psi }_m|\hat{A}=\sqrt{m+1}⟨{\psi }_{m+1}| \\ ⟨{\psi }_m|\hat{A}|{\psi }_n⟩=\sqrt{m+1}⟨{\psi }_{m+1}|{\psi }_n⟩=\sqrt{m+1}{\delta }_{m+1,n} \end{gathered}$$

所以它的矩阵表示为主对角线上的第$n$个元素同一行右边第一个的元素为$\sqrt{n}$，其他所有元素均为0的矩阵。创生算符${\hat{A}}^{†}$的矩阵表示就是主对角线上的第$n$个元素同一列下面第一个的元素为$\sqrt{n}$，其他所有元素均为0的矩阵。$\hat{X}$的矩阵表示就是主对角元全为0，主对角线两侧元素分别为$\sqrt{1}/\sqrt{2},\sqrt{2}/\sqrt{2},\cdots ,\sqrt{n}/\sqrt{2},\cdots$的三对角矩阵。

位置表象
从ground state开始，
$$⟨x|\hat{A}|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}⟨x|\frac{\hat{X}}{\sigma }+\frac{i\hat{P}}{\hslash }|{\psi }_0⟩=0\Leftarrow \hat{A}|{\psi }_0⟩=0$$

代入$\hat{P}=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$，
$$\left(\frac{x}{\sigma }+\sigma \frac{\partial }{\partial x}\right){\psi }_0(x)=0\Rightarrow {\psi }_0(x)={\left(\frac{1}{\pi {\sigma }^2}\right)}^{1/4}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$$

因此ground state中粒子的位置分布服从正态分布。接下来用上一讲的公式
$${\psi }_n(x)=⟨x|\frac{({\hat{A}}^{†}{)}^n}{\sqrt{n!}}|{\psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}{\left(\frac{x}{\sigma }-\sigma \frac{\partial }{\partial x}\right)}^n{\psi }_0(x)$$

这个通项公式可以生成一个一维的正交函数列，属于这个函数列的正交函数被称为Hermit-Gaussian函数：
$${\psi }_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n!}}\frac{1}{\sqrt{2^n}}{H}_n(x/\sigma ){\psi }_0(x)$$

其中$H_n$被称为Hermit多项式。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学18 量子谐振子基础的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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