UA OPTI570 量子力学24 Spin-1/2

UA OPTI570 量子力学24 Spin-1/2

• • Pauli Spin Matrix
  • Bloch Sphere
  • Time-evolution of Bloch Vector

Pauli Spin Matrix

用$\text{S}=(S_x,S_y,S_y)$表示自旋的角动量算符，取$\{S^2,S_u\}$作为CSCO，其中$S^2=|\text{S}{|}^2$，$u$表示$span(\hat{X},\hat{Y},\hat{Z})$中任意方向，CSCO的特征方程为
$$\begin{gathered} S^2|s,m_u⟩=s(s+1){\hslash }^2|s,m_u⟩ \\ {S}_u|s,m_u⟩=\hslash m_u|s,m_u⟩ \end{gathered}$$

在span-1/2问题中，$s=1/2$，所以$m_u\in \{1/2,-1/2\}$。选择$\{|s=1/2,m_z=1/2⟩,|s=1/2,m_z=-1/2⟩\}$作为量子态空间的基，简记为$\{|z+⟩,|z-⟩\}$，则
$$S_z|z\pm ⟩=\pm \frac{\hslash }{2}|z\pm ⟩$$

在$\{|z+⟩,|z-⟩\}$作为基的情况下，角动量算符的矩阵表示为
$$\begin{gathered} \text{S}=\frac{\hslash }{2}\sigma =\frac{\hslash }{2}({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z) \\ {S}^2=\frac{3}{4}{\hslash }^2\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right] \\ {S}_x^{(z)}=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_x=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right] \\ {S}_y^{(z)}=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_y=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right] \\ {S}_z^{(z)}=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_z=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right] \end{gathered}$$

其中${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$被称为泡利自旋矩阵，$\sigma$被称为Pauli Spin Operator。现在考虑任意方向$u$，在球坐标中，
$$u=\left[\begin{array}{c}\sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{array}\right]$$

则$$S_u=\text{S}\cdot u=\frac{\hslash }{2}\left(\sin \theta \cos \varphi {\sigma }_x+\sin \theta \sin \varphi {\sigma }_y+\cos \theta {\sigma }_z\right)=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_u$$可以得到它在$\{|z+⟩,|z-⟩\}$下的矩阵表示为
$$S_u^{(z)}=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta e^{i\varphi }\\ \sin \theta e^{i\varphi }& -\cos \theta \end{array}\right]$$

它的特征值为$\hslash /2,-\hslash /2$，特征向量为
$$\left[\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}\\ \sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}\\ \cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}\end{array}\right]$$

由此可以得到$|u+⟩$与$|u-⟩$在$\{|z+⟩,|z-⟩\}$下的表示
$$\begin{gathered} |u+⟩=\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}|z+⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}|z-⟩ \\ |u-⟩=-\sin \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}|z+⟩+\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}|z-⟩ \end{gathered}$$

在这两个式子中，$e^{-\frac{i\varphi }{2}}$为global phase factor，去掉它之后可以得到
$$\begin{gathered} |u+⟩=\cos \frac{\theta }{2}|z+⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\varphi }|z-⟩ \\ |u-⟩=\sin \frac{\theta }{2}|z+⟩-\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\varphi }|z-⟩ \end{gathered}$$

Bloch Sphere

既然$\{|z+⟩,|z-⟩\}$可以作为${\mathcal{E}}_{s=1/2}$的一组基，则${\mathcal{E}}_{s=1/2}$中的任意量子态$|\psi ⟩$都可以表示为$|z+⟩,|z-⟩$的叠加：$\exists c_1,c_2\in \mathbb{C}$，$|c_1{|}^2+|c_2{|}^2=1$，
$$|\psi ⟩=c_1|z+⟩+c_2|z-⟩$$

因为$u$代表所有可能的方向，$\theta \in [0,\pi ],\varphi \in [0,2\pi ]$，所以$(\theta ,\varphi )$与${\mathcal{E}}_{s=1/2}$中的量子态之间存在一一对应关系，也就是说每个量子态都对应唯一一种自旋方向。

例 $\theta =\pi /4,\varphi =0$，则
$$\begin{gathered} |u+⟩=\cos (\pi /8)|z+⟩+\sin (\pi /8)|z-⟩ \\ u=\frac{\hat{X}+\hat{Z}}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

也就是说$\cos (\pi /8)|z+⟩+\sin (\pi /8)|z-⟩$这个量子态自旋方向为$\frac{\hat{X}+\hat{Z}}{\sqrt{2}}$；

例 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|z+⟩-\frac{i}{\sqrt{2}}|z-⟩$，则$\theta =\pi /2,\varphi =-\pi /2$，所以$\hat{u}=-\hat{y}$，$|\psi ⟩$自旋方向为$-\hat{y}$（spin up along -y direction）

因为$(\theta ,\varphi )$是球坐标系中的余纬角与经角，所以${\mathcal{E}}_{s=1/2}$中的量子态可以用单位球面上的点表示，这个球面被称为Bloch Sphere，因为量子态与Bloch Sphere上的点是一一对应的，而量子态下Pauli Spin Operator的均值与量子态也是一一对应的，所以Bloch Sphere上的点与Pauli Spin Operator在某个量子态下的均值一一对应，称Pauli Spin Operator的均值为Bloch Vector，它是Bloch Sphere上的点。

Time-evolution of Bloch Vector

要讨论Bloch vector的演化规律，需要先计算出Hamiltonian，我们可以借鉴经典力学中处理粒子角动量与旋转关系的方法，然后把角动量替换为量子力学中的角动量即可。考虑一个角动量为$\text{L}$的带电粒子，它会产生一个磁偶极矩$\mu$，使得$\mu \propto \text{L}$，取$\text{L}=\text{J}$，则$\mu \propto \text{J}$，假设比例常数为$\gamma$，它是gyromagnetic ratio。

例 假设某个电子绕z轴旋转，orbital angular momentum为$\hslash$，则它产生的磁偶极矩为
$$\mu ={\gamma }_L\text{L}=\frac{e}{2m_e}\hslash \hat{z}$$

记
$${\mu }_B=\frac{e\hslash }{2m_e}=9.3\times 10^{-24}J/T$$

这个常量被称为Bohr magneton。

在spin-1/2中，
$$\mu =\gamma \text{S}=\frac{\gamma \hslash }{2}\sigma$$

粒子$\gamma$

$e^{-}$	${\gamma }_e=\frac{g_e{\mu }_B}{\hslash },g_e\approx -0.002$
$p^{+}$	${\gamma }_p=\frac{g_p{\mu }_N}{\hslash },g_p\approx 5.59$
$n^0$	${\gamma }_N=\frac{g_N{\mu }_N}{\hslash },g_N=-3.8$

其中${\mu }_N=\frac{e\hslash }{2m_p}$，三种粒子依次为电子、质子、中子。假设外部磁场为$\text{B}$，则已知磁偶极矩时，可以得到哈密顿量为
$$H=-\mu \cdot \text{B}=-\frac{\gamma \hslash }{2}\sigma \cdot \text{B}$$

例 假设$\text{B}=B_{0}u$，其中$B_0>0$，则哈密顿量为
$$H=-\frac{\gamma B_0\hslash }{2}{\sigma }_u=\frac{1}{2}\hslash w_0{\sigma }_u$$

因为$\gamma B_0$的量纲是频率，所以记$w_0=-\gamma B_0$，它被称为Larmor frequency。能量的本征态为$|u+⟩,|u-⟩$，能量的本征值为$E_{+}=\frac{1}{2}\hslash w_0$与$E_{-}=-\frac{1}{2}\hslash w_0$，取值为正的那个为高能阶，与$E$的下标为+或者-无关。

例 Stern-Gerlach效应 假设$\text{B}=\frac{B_0}{d}z\hat{z}$，其中$B_0>0$，$d$为一个length scale，则哈密顿量为
$$H=-\mu \cdot \text{B}=\frac{1}{2}\hslash w_0\frac{z}{d}{\sigma }_z$$

此时粒子在$z$方向仿佛受到
$$F_z=-\nabla V=-\frac{1}{2}\hslash w_0\frac{{\sigma }_z}{d}$$

量子态为$|z+⟩$时，$F_z=\frac{1}{2}\hslash w_0/d$；量子态为$|z-⟩$时，$F_z=-\frac{1}{2}\hslash w_0/d$，因此如果粒子$\gamma >0$，经过这个磁场后，自旋量子态为$|z+⟩$会向$z$轴正方向偏转，自旋量子态为$|z-⟩$会向$z$轴负方向偏转；如果粒子$\gamma <0$，则结论相反。而对于spin up along x或者y的粒子，它们有50%的概率向$z$轴正方向偏转，50%概率向$z$轴负方向偏转。

例 假设$\text{B}=B_0\hat{z}$，则
$$H=\frac{1}{2}\hslash w_0\hat{z},E_{\pm }=\pm \frac{1}{2}\hslash w_0$$

考虑$|\psi (0)⟩=|u+⟩=\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi }{2}}|z+⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi }{2}}|z-⟩$，它的演化规律为
$$\begin{gathered} |\psi (t)⟩=\hat{U}(t,0)|\psi (0)⟩=e^{-iHt/\hslash }|u+⟩ \\ =\cos \frac{\theta }{2}{e}^{-i\frac{\varphi (t)}{2}}|z+⟩+\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\frac{\varphi (t)}{2}}|z-⟩=c_{+}(t)|z+⟩+c_{-}(t)|z-⟩ \end{gathered}$$

其中$\varphi (t)=\varphi +w_{0}t$，接下来我们尝试在Bloch sphere中展示这个结果。Bloch vector为
$$⟨\psi (t)|\sigma |\psi (t)⟩=⟨\sigma {⟩}_{|\psi (t)⟩}=\frac{2⟨\text{S}⟩}{\hslash }=(0,0,e^{-i{w}_{0}t})$$

不是很想画图，但这个其实就是顶点在原点，底面为以$(0,0,1)$为圆心半径为1的圆的圆锥形。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学24 Spin-1/2的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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