UA OPTI512R 傅立叶光学导论24 相干传递函数

UA OPTI512R 傅立叶光学导论24 相干传递函数

• • Aberrated PSF
  • 相干传递函数

上一讲介绍了透镜成像的物理光学公式：
$$u_i=u_g\ast \tilde{h}$$

其中$u_g$是物体的ideal geometric image（简单来说就是根据几何光学得到的像）$$u_g(x_i,y_i)=\frac{1}{M}{u}_o(x_i/M,y_i/M)$$ $\tilde{h}$是point spread function，它们的卷积就是物体的像，所以这个简单成像系统（物体作为输入，像作为输出，物体+透镜+像构成这个系统）是一个Linear Shift-invariant System。这个公式是space-time domain中的透镜成像公式，这一讲我们讨论这个公式在频域中的性质。

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Aberrated PSF

考虑上图所示的成像系统，$u_o(x_o,y_o)$表示光源，$u_i(x_i,y_i)$表示光源经过透镜后所成的像，透镜部分包括透镜前的entrace pupil与透镜后的exit pupil，它们的作用类似相机的光圈或者人的瞳孔，透镜系统可以是一个透镜，也可以是不同透镜的组合。如果透镜系统都是理想透镜，那么光在传播过程中不会出现aberration，也就是如果$u_o$是点光源，那么在object plane到entrace pupil之间以球面波的形式传播，在exit pupil与image plane之间光束会收敛，最后得到的像也是一个点。如果不是理想透镜，那么就会存在衍射。

上图展示了非理想情况下的波形，黑实线代表理想情况下的球形波的波形，红虚线代表此时的真实波形，前者减去后者可以得到真实波形与理想球面波的偏离程度$W(x,y;x_o,y_o)$，由此可以计算OPD error为$e^{-j2\pi \frac{W}{\lambda }}$，此时aberrated pupil可以用实际的pupil与OPD error的乘积得到
$$P_{abb}(x,y)=P(x,y)e^{-j2\pi \frac{W}{\lambda }}$$

也就是aberrated pupil相当于在pupil的基础上增加了由abberation导致的相位变化。上一讲我们介绍了PSF函数：
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\iint P(\lambda d_i\tilde{x},\lambda d_i\tilde{y})e^{-j2\pi (x_i\tilde{x}+y_i\tilde{y})}d\tilde{x}d\tilde{y}$$

他是pupil function（也叫aperture function）的scaled Fourier变换。如果不存在aberration，上式中的$P$就代表真实的pupil；如果存在aberration，就需要用aberrated pupil function $P_{abb}$。

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相干传递函数

记$U_g(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[u_g(x_i,y_i)],U_i(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[u_i(x_i,y_i)],H(\xi ,\eta )=\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]$，$U_g$表示物体几何光学像的频谱（Input Object Spectra），$U_i$表示物体的像的频谱（output image spectra），$H$被称为相干传递函数（coherent transfer function, CTF）。根据卷积定理，
$$U_i(\xi ,\eta )=U_g(\xi ,\eta )H(\xi ,\eta )$$

例：CTF的作用
我们用一个简单的例子说明CTF的作用原理，假设光源为
$$u_o(x_o,y_o)=A\cos (2\pi {\xi }_0{x}_o)$$

透镜系统放大系数为$M=1$，因此光源的几何光学像的频谱为
$$\begin{array}{rl}{U}_g& =\mathcal{F}[u_o(x_o,y_o)]\\ & =\mathcal{F}[A\cos (2\pi {\xi }_{0}x)\cos (2\pi \cdot 0\cdot y)]\\ & =\frac{A}{2}[\delta (\xi -{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]\end{array}$$

根据CTF的定义以及Dirac函数的性质，
$$\begin{array}{rl}{U}_i(\xi ,\eta )& =\frac{A}{2}[\delta (\xi -{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]H(\xi ,\eta )\\ & =\frac{A}{2}[\delta (\xi -{\xi }_0,\eta )+\delta (\xi +{\xi }_0,\eta )]\underset{常数}{H({\xi }_0,0)}\end{array}$$

对这个频谱做Fourier逆变换可得光源的像为
$$u_i(x_i,y_i)=AH({\xi }_0,0)\cos (2\pi {\xi }_0{x}_i)$$

可以发现像与光源的形状一样，只是幅度上变成了$AH({\xi }_0,0)$。在passive image system（即光经过这个系统能量不会增加）中，
$$0\le |H({\xi }_0,0)|\le 1$$

所以经过系统后，光的能量被吸收（光强减少）的比例为$1-|H({\xi }_0,0){|}^2$。

CTF与pupil的关系
$$\begin{array}{rl}H(\xi ,\eta )& =\mathcal{F}[\tilde{h}(x_i,y_i)]\\ & =\mathcal{F}[\mathcal{F}[P(\lambda d_{i}x,\lambda d_{i}y)]]\\ & =P(-\lambda d_i\xi ,-\lambda d_i\eta )\end{array}$$

所以CTF就是scaled exit pupil function。因为在实验室以及在工程中，pupil都是受到尺寸限制，这就注定了CTF一定是一个低通滤波器。

例：矩形pupil

$$\begin{gathered} P(x,y)=rect(x/L_x,y/L_y) \\ H(\xi ,\eta )=rect(\lambda d_i\xi /L_x,\lambda d_i\eta /L_y) \end{gathered}$$

所以horizontal low-pass cut-off frequency为
$${\xi }_c=\frac{L_x}{2\lambda d_i}$$

verticle low-pass cut-off frequency为
$${\eta }_c=\frac{L_y}{2\lambda d_i}$$

PSF为
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{L_x{L}_y}{{\lambda }^2{d}_i^2}sinc(\frac{L_x{x}_i}{\lambda d_i},\frac{L_y{y}_i}{\lambda d_i})$$

例：圆形pupil
$$\begin{gathered} P(x,y)=circ(r/W)=\{\begin{array}{l}1,r=\sqrt{x^2+y^2}\le W/2\\ 0,r=\sqrt{x^2+y^2}>W/2\end{array} \\ H(\xi ,\eta )=circ(\frac{\lambda d_i\rho }{W}),\rho =\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2} \end{gathered}$$

所以radial low-pass cut-off frequency为
$${\rho }_c=\frac{W}{2\lambda d_i}$$

PSF为
$$\tilde{h}(x_i,y_i)=\frac{W^2}{{\lambda }^2{d}_i^2}somb(\frac{W{r}_i}{\lambda d_i})$$

其中somb表示Sombrero函数，
$$somb(r)=\frac{2J_1(\pi r)}{\pi r},r=\sqrt{x^2+y^2}$$

$J_1$是1阶第一类Bessel函数。

总结

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