UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础

UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础

背景
上一讲介绍interaction picture时提到了time-dependent perturbation，假设Hamiltonian满足
$$H(t)=H_0+W(t)$$

也就是和时间无关的项$H_0$与和时间有关的项$W(t)$可以分开，称$W(t)$是time-dependent perturbation，基于$H_0$的时间演化算符为
$$U(t,t_0)=e^{-i{H}_0(t-t_0)/\hslash }$$

Interaction Picture的参考系满足
$$\mathbb{F}=U^{†}(t,t_0)=e^{i{H}_0(t-t_0)/\hslash }$$

简单起见记$t_0=0$，假设某个量子态可以写成能量特征态的叠加：
$$|\psi (t)⟩=\sum _n{c}_n(t)|{\varphi }_n⟩$$

则在interaction picture中，
$$|{\psi }_I(t)⟩=\sum _n{c}_n(t)e^{i{H}_{0}t/\hslash }|{\varphi }_n⟩$$

可以发现在interaction picture中，相同能量特征态的概率不会改变，
$${\mathbb{P}}_n=|c_n(t){|}^2=|c_n(t)e^{i{H}_{0}t/\hslash }{|}^2$$

这一讲我们介绍一点time-dependent perturbation theory的基础，用来近似量子态之间的转移概率。

问题描述
哈密顿量$H$满足$H(t)=H_0+W(t)$，假设$H_0$的特征方程为
$$H_0|{\varphi }_n⟩=E_n|{\varphi }_n⟩$$

初始量子态为
$$|\psi (t_0)⟩=\sum _n{c}_n(t_0)|{\varphi }_n⟩$$

目标是得到$t$时间后系统可能的量子态（用$|{\psi }_f⟩$表示）及相应概率（用${\mathbb{P}}_f(t)$表示）。

理想情况
理想情况是$|\psi (t)⟩$可以根据哈密顿量$H(t)$与薛定谔方程解析得到，那么${\mathbb{P}}_f(t)$就等于到$|{\psi }_f⟩$的投影算符的均值，即
$${\mathbb{P}}_f(t)=⟨\psi (t)|{\psi }_f⟩⟨{\psi }_f|\psi (t)⟩$$

但是time-dependent Hamiltonian定义的量子系统通常很难有解析解，$|\psi (t)⟩$的解析式也就找不到。

Time-dependent Perturbation Theory
Time-dependent Perturbation Theory提供了在找不到$|\psi (t)⟩$的解析式的情况下，近似计算${\mathbb{P}}_f(t)$的方法。记$W(t)=\lambda \hat{W}(t)$，对$b_n(t)=c_n(t)e^{i{H}_{0}t/\hslash }$做展开，
$$b_n(t)=b_n^{(0)}(t)+\lambda b_n^{(1)}(t)+{\lambda }^2{b}_n^{(2)}(t)+\cdots$$

其中${\lambda }^r{b}_n^{(r)}(t)$表示$b_n(t)$的展开式中的第$r$阶项，将其代入到interaction picture的Effective薛定谔方程中，
$$\begin{array}{r}i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|{\psi }_I(t)⟩=H_I(t)|{\psi }_I(t)⟩=\lambda e^{i{H}_0(t-t_0)/\hslash }\hat{W}(t)e^{-i{H}_0(t-t_0)/\hslash }|{\psi }_I(t)⟩\end{array}$$

其中
$$|{\psi }_I(t)⟩=\sum _n{b}_n(t)|{\varphi }_n⟩=\sum _n\sum _r{\lambda }^r{b}_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩$$

所以
$$\begin{gathered} i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|{\psi }_I(t)⟩=i\hslash \sum _n|{\varphi }_n⟩\sum _r{\lambda }^r\frac{\partial }{\partial t}{b}_n^{(r)}(t) \\ \lambda e^{i{H}_0(t-t_0)/\hslash }\hat{W}(t)e^{-i{H}_0(t-t_0)/\hslash }|{\psi }_I(t)⟩ \\ =\lambda e^{i{H}_0(t-t_0)/\hslash }\hat{W}(t)e^{-i{H}_0(t-t_0)/\hslash }\sum _n\sum _r{\lambda }^r{b}_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩ \end{gathered}$$

化简可得
$$\begin{gathered} \frac{\partial }{\partial t}{b}_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩=b_n^{(r-1)}(t)e^{i{H}_0(t-t_0)/\hslash }\hat{W}(t)e^{-i{H}_0(t-t_0)/\hslash }|{\varphi }_n⟩ \\ {b}_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩={\int }_{t_0}^t{b}_n^{(r-1)}(t^{\prime })e^{i{H}_0(t^{\prime }-t_0)/\hslash }\hat{W}(t^{\prime })e^{-i{H}_0(t^{\prime }-t_0)/\hslash }|{\varphi }_n⟩d{t}^{\prime } \\ \begin{array}{rl}⟨{\varphi }_k|b_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩& ={\int }_{t_0}^t{b}_n^{(r-1)}(t^{\prime })⟨{\varphi }_k|e^{i{H}_0(t^{\prime }-t_0)/\hslash }\hat{W}(t^{\prime })e^{-i{H}_0(t^{\prime }-t_0)/\hslash }|{\varphi }_n⟩d{t}^{\prime }\\ & =\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t{b}_k^{(r-1)}(t^{\prime })⟨{\varphi }_k|\hat{W}(t^{\prime })d{t}^{\prime }|{\varphi }_n⟩e^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}d{t}^{\prime }\end{array} \\ \sum _k⟨{\varphi }_k|b_n^{(r)}(t)|{\varphi }_n⟩=b_n^{(r)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t\sum _k{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })b_k^{(r-1)}(t^{\prime })d{t}^{\prime } \end{gathered}$$

所以它的解为
$$b_n^{(r)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t\sum _k{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })b_k^{(r-1)}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$

比如，
$$\begin{gathered} b_n^{(0)}=b_n(t_0) \\ {b}_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t\sum _k{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })b_k(t^{\prime })d{t}^{\prime } \\ {b}_n^{(2)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t\sum _{k^{\prime }}{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime \prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime \prime })b_{k^{\prime }}^{(1)}(t^{\prime \prime })d{t}^{\prime \prime } \end{gathered}$$

其中$w_{nk}$是Bohr frequency，可以用Einstein-Planck关系得到
$$w_{nk}=\frac{E_n-E_k}{\hslash }$$

${\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })$由perturbation计算得到
$${\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })=⟨{\varphi }_n|\hat{W}(t^{\prime })|{\varphi }_k⟩$$

例：假设$|\psi (0)⟩=|{\varphi }_i⟩$，则$b_i^{(0)}=b_i(0)=1$，所以
$$b_n^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t\sum _k{e}^{i{w}_{nk}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{nk}(t^{\prime })b_k(t^{\prime })d{t}^{\prime }=\frac{1}{i\hslash }{\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{ni}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{ni}(t^{\prime })d{t}^{\prime }$$

综上，如果用一阶近似，则
$${\mathbb{P}}_f(t)=|b_f(0)+\lambda b_f^{(1)}(t){|}^2$$

如果初始量子态为$|{\varphi }_i⟩$，$t$时间后的量子态为$|{\varphi }_f⟩$，则
$${\mathbb{P}}_{i\to f}(t)={\lambda }^2|b_f^{(1)}{|}^2=\frac{{\lambda }^2}{{\hslash }^2}|{\int }_{t_0}^t{e}^{i{w}_{ni}{t}^{\prime }}{\hat{W}}_{ni}(t^{\prime })d{t}^{\prime }{|}^2$$

《新程序员》：云原生和全面数字化实践50位技术专家共同创作，文字、视频、音频交互阅读

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学33 Time-dependent Perturbation基础的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。