UA OPTI512R 傅立叶光学导论 采样定理例题

UA OPTI512R 傅立叶光学导论 采样定理例题

例1 计算下列函数的带宽

$sinc(ax)$

$sin{c}^2(ax)$

$\cos (2\pi {\xi }_{0}x)$

${\sin }^2(2\pi {\xi }_{0}x)$

$2\cos (\pi x)+\sin (2\pi x)$

$sin{c}^2(x)\cos (\pi x)$

答案 主要就是计算这些函数的Fourier变换，
$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sinc(ax)]& =\frac{1}{|a|}\mathcal{F}[sinc(x)](\xi /a)\\ & =\frac{1}{|a|}rect(\xi /a)\\ & =\{\begin{array}{l}\frac{1}{|a|},-|a|/2\le \xi \le |a|/2\\ 0,otherwise\end{array}\end{array}$$

所以带宽为$|a|$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>|a|$；

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sin{c}^2(ax)]& =\frac{1}{|a|}\mathcal{F}[sin{c}^2(x)](\xi /a)\\ & =\frac{1}{|a|}tri(\xi /a)\end{array}$$

带宽为$2|a|$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>2|a|$；

$$\mathcal{F}[\cos (2\pi {\xi }_{0}x)]=\frac{\delta (\xi -{\xi }_0)+\delta (x+x_0)}{2}$$

带宽为$2{\xi }_0$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>2{\xi }_0$；

$$\mathcal{F}[{\sin }^2(2\pi {\xi }_{0}x)]=\frac{1}{2}\mathcal{F}[1-2\cos (2\pi 2{\xi }_{0}x)]=\frac{\delta (\xi )+\delta (\xi -2{\xi }_0)+\delta (x+2x_0)}{2}$$

带宽为$4{\xi }_0$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>4{\xi }_0$；

$$\mathcal{F}[2\cos (\pi x)+\sin (2\pi x)]=\delta (\xi -1/2)+\delta (\xi +1/2)+\frac{\delta (x-1)-\delta (x+1)}{2}$$

带宽为$2$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>2$；

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[sin{c}^2(x)\cos (\pi x)]& =tri(x)\otimes \frac{\delta (x-1/2)+\delta (x+1/2)}{2}\\ & =\frac{tri(x-1/2)+tri(x+1/2)}{2}\end{array}$$

带宽为$3$，Nyquist频率为${\xi }_{NS}>3$；

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例2 某种连续信号为$f(x)=sin{c}^2(5x)$，用采样函数$samp(x)={\xi }_{S}comb({\xi }_{S}x)$对其进行采样后作为一个传递函数为$H(\xi )=rect(\xi /{\xi }_S)$的LSI的输入，用$g(x)$表示LSI的输出。

求$f(x)$的Nyquist频率${\xi }_{NS}$；

当${\xi }_S=b{\xi }_{NS},0<b<1$时，求$g(x)$

答案
第一问，计算$f(x)$的Fourier变换
$$\begin{array}{rl}F(\xi )& =\mathcal{F}[f(x)]=\mathcal{F}[sin{c}^2(5x)]=\frac{1}{5}tri(x/5)\end{array}$$

带宽为10，所以${\xi }_{NS}=10$；

第二问，计算输入的频谱，
$$\begin{array}{rl}{F}_S(\xi )& =\mathcal{F}[f(x)samp(x)]\\ & =F(\xi )\otimes \mathcal{F}[samp(x)]\\ & =\frac{1}{5}tri(\xi /5)\otimes comb(\xi /{\xi }_S)\\ & =\frac{1}{5}tri(\xi /5)\otimes \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (\xi -n{\xi }_S)\end{array}$$

所以输出的频谱为
$$\begin{array}{rl}G(\xi )& =F_S(\xi )H(\xi )\\ & =\left[\frac{1}{5}tri(\xi /5)\otimes \sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (\xi -n{\xi }_S)\right]rect(\xi /{\xi }_S)\\ & =\frac{1}{10}rect\left(\frac{\xi }{b{\xi }_{NS}}\right)+\frac{1}{10}tri\left(\frac{\xi }{(1-b){\xi }_{NS}}\right)\end{array}$$

最后计算Fourier逆变换，
$$\begin{array}{rl}g(x)& ={\mathcal{F}}^{-1}\left[\frac{1}{10}rect\left(\frac{\xi }{b{\xi }_{NS}}\right)+\frac{1}{10}tri\left(\frac{\xi }{(1-b){\xi }_{NS}}\right)\right]\\ & =bsinc(b{\xi }_{NS}x)+(1-b)sin{c}^2((1-b){\xi }_{NS}x)\end{array}$$

总结

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