UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型

UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型

• • Density Matrix的稳态（假设无非弹性碰撞）
  • • Elastic Collision Broadening
  • 光子通量
  • • Rate Equation的解（假设无非弹性碰撞）
    • Power Broadening
    • $\sigma (\Delta )$的表达式（假设无碰撞）

在上一讲的结尾，我们得到了光与粒子交互系统的2-level system approximation的density matrix的演化方程：

$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=-{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}-\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{22}=-{\Gamma }_2{\rho }_{22}-A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{12}=(i\Delta -\beta ){\rho }_{12}+\frac{i{\chi }^{\ast }}{2}({\rho }_{22}-{\rho }_{11})={\dot{\rho }}_{21}^{\ast }\\ \beta =\frac{1}{\tau }+\frac{{\Gamma }_1+{\Gamma }_2}{2}+\frac{A_{21}}{2}\end{array}$$

${\rho }_{11},{\rho }_{22}$代表population，${\rho }_{12},{\rho }_{21}$代表coherence，这个方程虽然具有一般性，但要解这个方程十分困难。因此这一讲我们在不解演化方程的情况下，用它来推导光与粒子交互系统的2-level system approximation的一些性质。

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Density Matrix的稳态（假设无非弹性碰撞）

假设${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，稳态说明population与coherence都没有变化，即其导数为0，所以
$${\dot{\rho }}_{12}=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\rho }_{12}=\frac{i{\chi }^{\ast }/2}{\beta -i\Delta }({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\\ {\rho }_{21}=\frac{-i\chi /2}{\beta +i\Delta }({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\end{array}$$

代入到population中，
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=A_{21}{\rho }_{22}-\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})=A_{21}{\rho }_{22}+\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\\ {\dot{\rho }}_{22}=-A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})=-A_{21}{\rho }_{22}-\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\end{array}$$

这两个方程被称为population rate equation，就物理意义而言，这个方程组描述的是激发过程，
$|2⟩$代表高能态，$|1⟩$代表低能态，$A_{21}{\rho }_{22}$代表从高能态向低能态的自发衰变，${\Gamma }_1{\rho }_{11},{\Gamma }_2{\rho }_{22}$代表两个量子态的population的非弹性碰撞衰变，$R_{12}{\rho }_{11}$代表由低能态向高能态的激发，$R_{12}{\rho }_{22}$代表由高能态向低能态的释放，$R_{12}$代表两个能态之间的激发率（absorption rate或者stimulated emission rate），
$$R_{12}=\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

Elastic Collision Broadening

在高温且稠密的气体介质中，弹性碰撞在粒子的非哈密顿行为（弹性碰撞、非弹性碰撞、自发衰变）中占主体，即$\beta >>A_{21},{\Gamma }_1,{\Gamma }_2$，在这种情况下，coherence会比population更先到达稳态，这种情况被称为Elastic Collision Broadening，此时population ${\rho }_{11},{\rho }_{22}$的行为可以用Rabi Oscillation类比。

在这种情况下，如果碰撞次数足够多，且dipole moment方向相对driving field随机分布时，$⟨|p_{12}\cdot \widehat{ϵ}{E}_0/h{|}^2{⟩}_{\text{angle}}=\frac{1}{3}|p_{12}{|}^2{E}_0^2=\frac{1}{3}|\chi {|}^2$，
$$R_{12}=\frac{1}{3}\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

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光子通量

记$R_{12}=\sigma (\Delta )\varphi$，其中$\varphi$是光子通量(photon flux)，满足
$$\hslash w\varphi =\underset{光强\text{intensity}}{\frac{1}{2}c{ϵ}_0|E_0{|}^2}$$

由此可以将population rate equation用光子通量表示，
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=-{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}+\sigma (\Delta )\varphi ({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\\ {\dot{\rho }}_{22}=-{\Gamma }_2{\rho }_{22}-A_{21}{\rho }_{22}-\sigma (\Delta )\varphi ({\rho }_{22}-{\rho }_{11})\end{array}$$

如果有$N$个粒子，则

• Number of Absorption Events为$N\sigma (\Delta )\varphi {\rho }_{11}$
• Number of Stimulated Emission Events为$N\sigma (\Delta )\varphi {\rho }_{22}$

Rate Equation的解（假设无非弹性碰撞）

假设${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，并且根据${\rho }_{11}+{\rho }_{22}=1$，
$$\begin{array}{rl}{\dot{\rho }}_{22}& =-A_{21}{\rho }_{22}-\sigma (\Delta )\varphi (2{\rho }_{22}-1)\\ & =\sigma (\Delta )\varphi \underset{\text{damping effect}}{-(A_{21}+2\sigma (\Delta )){\rho }_{22}}\end{array}$$

记$\gamma =A_{21}+2\sigma (\Delta )$为damping coefficient，这个方程的解为
$$\begin{gathered} {\rho }_{22}(t)=[{\rho }_{22}(0)-{\rho }_{22}(\infty )]e^{-\gamma t}+{\rho }_{22}(\infty ) \\ {\rho }_{22}(\infty )=\frac{\sigma (\Delta )\varphi }{\gamma } \end{gathered}$$

其中${\rho }_{22}(0)$为初始值，${\rho }_{22}(\infty )$为稳态值，

Power Broadening

代入受激发射率的表达式，
$${\rho }_{22}(\infty )=\frac{\sigma (\Delta )\varphi }{\gamma }=\frac{\frac{|\chi {|}^2\beta }{2A_{21}}}{{\Delta }^2+{\beta }^2+\frac{|\chi {|}^2\beta }{A_{21}}}$$

当$\sigma (\Delta )\varphi >>A_{21}$时，${\rho }_{22}(\infty )\to \frac{1}{2}$，这种情况被称为Power Broadening，此时粒子处于高能态与低能态的概率相等，系统处于饱和（saturation）状态，此时光子通量和光强为
$${\varphi }_{\text{sat}}=\frac{A_{21}}{2\sigma (0)},I_{\text{sat}}=\hslash w{\varphi }_{\text{sat}}$$

$\sigma (\Delta )$的表达式（假设无碰撞）

因为
$$\begin{gathered} R_{12}=\frac{|\chi {|}^2\beta /2}{{\Delta }^2+{\beta }^2} \\ {R}_{12}=\sigma (\Delta )\varphi =\sigma (\Delta )\frac{\frac{1}{2}c{ϵ}_0|E_0{|}^2}{\hslash w} \end{gathered}$$

其中
$$|\chi {|}^2=f\frac{|p_{12}{|}^2|E_0{|}^2}{{\hslash }^2},\frac{1}{3}\le f\le 1$$

$1/3$对应elastic collision broadening，$1$对应elastic collision free，由此
$$\sigma (\Delta )=f\frac{w|p_{12}{|}^2}{\hslash c{ϵ}_0\beta }\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}=\sigma (0)\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

假设collision free（无弹性碰撞与非弹性碰撞），则
$$\sigma (0)=f\frac{2w|p_{12}{|}^2}{\hslash c{ϵ}_0{A}_{21}}=f\frac{4\pi }{\hslash {ϵ}_0\lambda }\frac{|p_{12}{|}^2}{A_{21}}$$

$A_{21}$与$|p_{12}{|}^2$的关系推导需要用到量子电动力学，所以这里先直接给结论，
$$A_{21}=\frac{|p_{12}{|}^2{w}^3}{3\pi ϵ\hslash c^3}$$

代入$\sigma (0)$的表达式可得，
$$\sigma (0)=f\frac{3{\lambda }^2}{2\pi }$$

综上，
$$\sigma (\Delta )=f\frac{3{\lambda }^2}{2\pi }\frac{{\beta }^2}{{\Delta }^2+{\beta }^2}$$

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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