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UA OPTI544 量子光学14 量子电动力学基础

发布时间：2025/4/14 编程问答 47 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 UA OPTI544 量子光学14 量子电动力学基础 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA OPTI544 量子光学14 量子电动力学基础

    • 电磁场分解为谐振子的叠加
      • 电场的波动方程
      • 电磁场的哈密顿量
    • 电磁场的量子化
      • 薛定谔绘景中的电磁场算符

电磁场分解为谐振子的叠加

电场的波动方程

根据上一讲介绍的场的量子化的思路，我们要尝试对电磁场做Normal Mode Decomposition，并以此将它的哈密顿量表示为一系列谐振子的叠加。在经典电动力学中，电磁场的行为用Maxwell方程描述，
∇⋅E⃗=ρϵ0∇⋅B⃗=0∇×E⃗=−∂∂tB⃗∇×B⃗=1c2∂∂tE⃗+1ϵ0c2J⃗\nabla \cdot \vec E=\frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \vec B=0 \\ \nabla \times \vec E=-\frac{\partial}{\partial t}\vec B \\ \nabla \times \vec B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\vec E+\frac{1}{\epsilon_0 c^2} \vec J∇⋅E=ϵ0​ρ​∇⋅B=0∇×E=−∂t∂​B∇×B=c21​∂t∂​E+ϵ0​c21​J

用3-D Fourier变换将其从时空域(r⃗,t)(\vec r,t)(r,t)变换到傅里叶域(k⃗,t)(\vec k ,t)(k,t)，
ik⃗⋅E⃗=ρϵ0ik⃗⋅B⃗=0ik⃗×E⃗=−∂∂tB⃗ik⃗×B⃗=1c2∂∂tE⃗+1ϵ0c2J⃗i\vec k \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ i\vec k \cdot \vec B = 0 \\ i \vec k \times \vec E = -\frac{\partial}{\partial t}\vec B \\ i \vec k \times \vec B = \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\vec E+\frac{1}{\epsilon_0 c^2} \vec Jik⋅E=ϵ0​ρ​ik⋅B=0ik×E=−∂t∂​Bik×B=c21​∂t∂​E+ϵ0​c21​J

用E⃗∣∣,E⃗⊥\vec E_{||},\vec E_{\perp}E∣∣​,E⊥​与B⃗∣∣,B⃗⊥\vec B_{||},\vec B_{\perp}B∣∣​,B⊥​分别表示电场与磁感应在与波向量平行、垂直的方向的分量，代入到傅里叶域中的Maxwell方程，
ik⃗⋅(E⃗∣∣+E⃗⊥)=ik⃗⋅E⃗∣∣=ρϵ0⇒E⃗∣∣=−iρk⃗ϵ0k2Coulomb Fieldik⃗⋅(B⃗∣∣+B⃗⊥)=ik⃗⋅B⃗∣∣=0⇒B⃗∣∣=0Transverse Magnetic Fieldi\vec k \cdot (\vec E_{||}+\vec E_{\perp})=i\vec k \cdot \vec E_{||}= \frac{\rho}{\epsilon_0}\Rightarrow \vec E_{||}=-i \frac{\rho \vec k}{\epsilon_0k^2}\ \text{Coulomb\ Field} \\ i\vec k \cdot (\vec B_{||}+\vec B_{\perp})=i\vec k \cdot \vec B_{||}=0 \Rightarrow \vec B_{||}=0\ \text{Transverse\ Magnetic\ Field}ik⋅(E∣∣​+E⊥​)=ik⋅E∣∣​=ϵ0​ρ​⇒E∣∣​=−iϵ0​k2ρk​ Coulomb Fieldik⋅(B∣∣​+B⊥​)=ik⋅B∣∣​=0⇒B∣∣​=0 Transverse Magnetic Field

于是电磁场独立于粒子的自由度只有E⃗⊥\vec E_{\perp}E⊥​与B⃗=B⃗⊥\vec B=\vec B_{\perp}B=B⊥​，它们满足
∂∂tB⃗=−ik⃗×E⃗⊥∂∂tE⃗⊥=ic2k⃗×B⃗−1ϵ0J⃗⊥\frac{\partial}{\partial t}\vec B=-i\vec k \times \vec E_{\perp} \\ \frac{\partial}{\partial t}\vec E_{\perp} = ic^2 \vec k \times \vec B-\frac{1}{\epsilon_0}\vec J_{\perp}∂t∂​B=−ik×E⊥​∂t∂​E⊥​=ic2k×B−ϵ0​1​J⊥​

对这两个方程做逆3-D Fourier变换，结果为
∂∂tB⃗=−∇×E⃗⊥∂∂tE⃗⊥=c2∇×B⃗−1ϵ0J⃗⊥\frac{\partial}{\partial t}\vec B=-\nabla \times \vec E_{\perp} \\ \frac{\partial}{\partial t}\vec E_{\perp} = c^2 \nabla \times \vec B-\frac{1}{\epsilon_0}\vec J_{\perp}∂t∂​B=−∇×E⊥​∂t∂​E⊥​=c2∇×B−ϵ0​1​J⊥​

对于这两个方程，先对第二个方程关于ttt求偏导，然后将第一个方程代入第二个方程中，用向量恒等式化简∇×(∇×E⃗⊥)\nabla \times (\nabla \times \vec E_{\perp})∇×(∇×E⊥​)，可得电场的波动方程为
(∇2−1c2∂2∂t2)E⃗⊥=1ϵ0c2∂∂tJ⃗⊥\left( \nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right)\vec E_{\perp}=\frac{1}{\epsilon_0c^2}\frac{\partial}{\partial t}\vec J_{\perp}(∇2−c21​∂t2∂2​)E⊥​=ϵ0​c21​∂t∂​J⊥​

电磁场的哈密顿量

为简化问题，我们考虑一个长度为LLL，截面面积为AAA，体积为V=LAV=LAV=LA的空腔，在这个空腔中，电磁场只能沿zzz轴传播。根据电磁场传播的规律，此时波向量的方向为ϵ⃗z\vec \epsilon_zϵz​，电场的方向为ϵ⃗x\vec \epsilon_xϵx​，磁感应的方向为ϵ⃗y\vec \epsilon_yϵy​。另外，电场的Normal Mode Decomposition为
Ex(z,t)=∑jAjqj(t)sin⁡(kjz),Aj=wj2mj2ϵ0VE_x(z,t)=\sum_j A_j q_j(t)\sin(k_jz),A_j=\sqrt \frac{w_j^2m_j}{2 \epsilon_0 V}Ex​(z,t)=j∑​Aj​qj​(t)sin(kj​z),Aj​=2ϵ0​Vwj2​mj​​​

其中mjm_jmj​为figucial mass，另外，
∇×B⃗=−ϵ⃗x∂By∂z=1c2∂∂tE⃗⊥=−ϵ⃗x1c2∑jAjq˙j(t)sin⁡(kjz)⇒∂By∂z=−∑jAjc2q˙j(t)sin⁡(kjz)⇒By(z,t)=∑jAjc2kjq˙j(t)cos⁡(kjz)\nabla \times \vec B=-\vec \epsilon_x \frac{\partial B_y}{\partial z}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \vec E_{\perp} =-\vec \epsilon_x\frac{1}{c^2} \sum_j A_j \dot q_j(t)\sin(k_jz) \\ \Rightarrow \frac{\partial B_y}{\partial z}=-\sum_j \frac{A_j}{c^2}\dot q_j(t)\sin(k_jz) \\ \Rightarrow B_y(z,t)=\sum_j \frac{A_j}{c^2k_j}\dot q_j(t)\cos(k_jz)∇×B=−ϵx​∂z∂By​​=c21​∂t∂​E⊥​=−ϵx​c21​j∑​Aj​q˙​j​(t)sin(kj​z)⇒∂z∂By​​=−j∑​c2Aj​​q˙​j​(t)sin(kj​z)⇒By​(z,t)=j∑​c2kj​Aj​​q˙​j​(t)cos(kj​z)

电磁场的哈密顿量为
H=ϵ0A2∫0L(∣E⃗∣2+c2∣B⃗∣2)dz=ϵ0A2∫0Ldz∑j[Aj2qj2(t)sin⁡2(kjz)+Aj2c2kj2q˙j2(t)cos⁡2(kjz)]=∑j(12mjwj2qj2⏟势能+12mjq˙j2⏟动能)\begin{aligned} H & = \frac{\epsilon_0A}{2}\int_0^L (|\vec E|^2+c^2|\vec B|^2)dz \\ & =\frac{\epsilon_0A}{2}\int_0^L dz \sum_j \left[ A_j^2 q_j^2(t)\sin^2(k_jz)+\frac{A_j^2}{c^2k_j^2}\dot q_j^2(t)\cos^2(k_jz) \right] \\ & = \sum_j \left( \underbrace{\frac{1}{2}m_jw_j^2q_j^2}_{势能}+\underbrace{\frac{1}{2}m_j \dot q_j^2}_{动能}\right)\end{aligned}H​=2ϵ0​A​∫0L​(∣E∣2+c2∣B∣2)dz=2ϵ0​A​∫0L​dzj∑​[Aj2​qj2​(t)sin2(kj​z)+c2kj2​Aj2​​q˙​j2​(t)cos2(kj​z)]=j∑​⎝⎛​势能21​mj​wj2​qj2​​​+动能21​mj​q˙​j2​​​⎠⎞​​

这个推导需要用到简谐波的性质：
Aj∫0Lsin⁡2(kjz)dz=Aj∫0Lcos⁡2(kjz)dz=V/2A_j\int_0^L \sin^2(k_jz)dz =A_j\int_0^L \cos^2(k_jz)dz =V/2Aj​∫0L​sin2(kj​z)dz=Aj​∫0L​cos2(kj​z)dz=V/2

电场的拉格朗日函数为
L=∑j(12mjq˙j2−12mjwj2qj2)\mathcal L = \sum_j \left( \frac{1}{2}m_j \dot q_j^2-\frac{1}{2}m_jw_j^2q_j^2\right)L=j∑​(21​mj​q˙​j2​−21​mj​wj2​qj2​)

因此动量为
pj=∂L∂q˙j=mjq˙jp_j=\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_j}=m_j\dot q_jpj​=∂q˙​j​∂L​=mj​q˙​j​

综上，我们成功地把电磁场的哈密顿量用一系列谐振子的哈密顿量的和表示出来了。接下来，考虑将电磁场量子化。

电磁场的量子化

定义代表电磁场位移与动量的无量纲量，
Qj=qjq0,j,q0,j=2ℏmjwjPj=pjp0,j,p0,j=2ℏmjwjQ_j=\frac{q_j}{q_{0,j}},q_{0,j}=\sqrt{\frac{2\hbar}{m_jw_j}} \\ P_j = \frac{p_j}{p_{0,j}},p_{0,j}=\sqrt{2\hbar m_j w_j}Qj​=q0,j​qj​​,q0,j​=mj​wj​2ℏ​​Pj​=p0,j​pj​​,p0,j​=2ℏmj​wj​​

定义
αj(t)=P(t)+iQ(t)=αj(0)e−iwjt,Ej=Ajq0,j=ℏwjϵ0V\alpha_j(t)=P(t)+iQ(t)=\alpha_j(0)e^{-iw_jt},\mathcal E_j=A_jq_{0,j}=\sqrt{\frac{\hbar w_j}{\epsilon_0 V}}αj​(t)=P(t)+iQ(t)=αj​(0)e−iwj​t,Ej​=Aj​q0,j​=ϵ0​Vℏwj​​​

Ej\mathcal E_jEj​的含义是field per phonon，用这些符号改写电场与磁感应，
Ex(z,t)=∑jEj[αj(t)+α∗(j)]sin⁡(kjz)By(z,t)=−ic∑jEj[αj(t)−α∗(j)]cos⁡(kjz)E_x(z,t)=\sum_j \mathcal E_j[\alpha_j(t)+\alpha^*(j)]\sin(k_jz) \\ B_y(z,t)=-\frac{i}{c}\sum_j\mathcal E_j[\alpha_j(t)-\alpha^*(j)]\cos(k_jz)Ex​(z,t)=j∑​Ej​[αj​(t)+α∗(j)]sin(kj​z)By​(z,t)=−ci​j∑​Ej​[αj​(t)−α∗(j)]cos(kj​z)

薛定谔绘景中的电磁场算符

将相关物理量替换成算符：
[q^j,p^j′]=iℏδjj′⇐{qj→q^jpj→p^j[a^j,a^j′†]=δjj′⇐{αj→a^jαj∗→a^j†[\hat q_j,\hat p_{j'}]=i\hbar \delta_{jj'}\Leftarrow\begin{cases} q_j \to \hat q_j \\ p_j \to \hat p_j \end{cases} \\ [\hat a_j,\hat a_{j'}^{\dag}]= \delta_{jj'}\Leftarrow\begin{cases} \alpha_j \to \hat a_j \\ \alpha_j^* \to \hat a_j^{\dag} \end{cases}[q^​j​,p^​j′​]=iℏδjj′​⇐{qj​→q^​j​pj​→p^​j​​[a^j​,a^j′†​]=δjj′​⇐{αj​→a^j​αj∗​→a^j†​​

从而电磁场算符为
E^x(z)=∑jEj(a^+a^j†)sin⁡(kjz)B^y(z,)=−ic∑jEj(a^j−a^j†)cos⁡(kjz)\hat E_x(z) = \sum_j \mathcal E_j(\hat a+\hat a_j^{\dag})\sin(k_jz) \\ \hat B_y(z,)=-\frac{i}{c}\sum_j\mathcal E_j( \hat a_j-\hat a_j^{\dag})\cos(k_jz)E^x​(z)=j∑​Ej​(a^+a^j†​)sin(kj​z)B^y​(z,)=−ci​j∑​Ej​(a^j​−a^j†​)cos(kj​z)

这两个算符满足time-dependence in state，所以它们是薛定谔绘景中的算符。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI544 量子光学14 量子电动力学基础的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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