【BZOJ3700】发展城市 [LCA][RMQ]

发展城市

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Description

　　众所周知，Hzwer学长是一名高富帅，他打算投入巨资发展一些小城市。
　　Hzwer打算在城市中开N个宾馆，由于Hzwer非常壕，所以宾馆必须建在空中，但是这样就必须建立宾馆之间的连接通道。机智的Hzwer在宾馆中修建了N-1条隧道，也就是说，宾馆和隧道形成了一个树形结构。
　　Hzwer有时候会花一天时间去视察某个城市，当来到一个城市之后，Hzwer会分析这些宾馆的顾客情况。对于每个顾客，Hzwer用三个数值描述他：（S， T， V）表示该顾客这天想要从宾馆S走到宾馆T，他的速度是V。
　　Hzwer需要做一些收集一些数据，这样他就可以规划他接下来的投资。
　　其中有一项数据就是收集所有顾客可能的碰面次数。
　　每天清晨，顾客同时从S出发以V的速度前往T（注意S可能等于T），当到达了宾馆T的时候，顾客显然要找个房间住下，那么别的顾客再经过这里就不会碰面了。特别的，两个顾客同时到达一个宾馆是可以碰面的。同样，两个顾客同时从某宾馆出发也会碰面。

Input

 　　第一行一个正整数T(1<=T<=20)，表示Hzwer发展了T个城市，并且在这T个城市分别视察一次。
 　　对于每个T，第一行有一个正整数N(1<=N<=10^5)表示Hzwer在这个城市开了N个宾馆。
 　　接下来N-1行，每行三个整数X，Y，Z表示宾馆X和宾馆Y之间有一条长度为Z的隧道
 　　再接下来一行M表示这天顾客的数量。
 　　紧跟着M行每行三个整数（S， T， V）表示该顾客会从宾馆S走到宾馆T，速度为v

Output

　　 对于每个T，输出一行，表示顾客的碰面次数。

Sample Input

　　2
　　3
　　1 2 1
　　2 3 1
　　3
　　1 3 2
　　3 1 1
　　1 2 3
　　1
　　0

Sample Output

　　2
　　0

HINT

　　1<=T<=20   1<=N<=10^5   0<=M<=10^3   1<=V<=10^6   1<=Z<=10^3

Main idea

　　给定若干个顾客，每个顾客会匀速从一个点走到另外一个点，问有几对人会在路上相遇。

Solution

　　由于人数较少，所以我们可以O(m^2)判断两人是否相交。

　　首先，两个人相遇只可能是在路径重叠的部分相遇，所以我们先对两人的路径求交，这里提供一种对树上路径求交的方法：

　　　　求出AB两人路径的交：
　　　　　　设A路径为a.u->a.v，B路径为b.u->b.v。那么我们求出 LCA(a.u,b.u)，LCA(a.v,b.v)，LCA(a.u,b.v)，LCA(b.u,a.v)，然后保留下在AB路径上的点。（判断一个点是否在路径上：若u在LCA(x,y)的子树中，且u为LCA(u,x)或者LCA(u,y)，则u在路径x,y上），然后按照dfs序位置排序，去重，保留下后两个点，则后两个点即是路径的端点。

　　但是这样求交的话需要多次查询LCA，我们用每次log的时间查询显然会超时，于是我们引进O(nlog(n))预处理，O(1)查询的LCA。

　　　　O(1)查询的LCA：
　　　　　　我们先求出对于这棵树的欧拉序（欧拉序：记下每个点第一次访问的位置以及回溯完的位置），然后我们用那么这时候x,y之间的LCA也就是 [pos[x],pos[y]] 区间内深度最小的点（pos[x]表示点x第一次在欧拉序中出现的位置），这个区间最小值用RMQ求即可。

　　现在我们已经求出了路径的交集，然后我们暴力分类讨论一下。如果没有交集则必然不相交，若交于一点判断一下到达时间即可，否则：

　　先考虑两人运动的方向。我们记录p.u,p.v表示路径交集的两个端点。A1表示A到先进入路径的端点，A2表示A后到的端点，B1、B2类似（用距离长短判断即可），如果A1=B1则表示两人同向运动，否则表示相向运动。然后我们讨论一下：

　　　　同向运动：如果两人同向运动，那么若先进入路径的后离开路径，则两人会相遇。
　　　　相向运动：如果两人相向运动，则我们记录到端点的时间，如果两个人在路径上的时间有交集的话，则会相遇。

　　然后这样判断一下就可以求出答案了，但是由于double定义下的除法速度很慢，会被卡常数，所以我们再用在long long定义下的交叉相乘来判断以上情况。这样我们就解决了这道题\(≧▽≦)/

Code

1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 typedef long long s64; 9 10 const int ONE = 100005; 11 12 int T; 13 int n,m; 14 int x,y,z; 15 int next[ONE*2],first[ONE],go[ONE*2],w[ONE*2],tot; 16 int pos[ONE],dfn_cnt,Dep[ONE],size[ONE]; 17 int MinD[ONE*2][18],NumD[ONE*2][18]; 18 int Log[ONE*2],Bin[18]; 19 int Stk[5],top,fc; 20 int Ans; 21 s64 d[ONE]; 22 23 struct power 24 { 25 int u,v; 26 int val; 27 }a[1005],p; 28 29 namespace input 30 { 31 const int BufferSize = 1 << 16 | 1; 32 33 char buffer[BufferSize]; 34 char *head = buffer + BufferSize; 35 const char *tail = head; 36 37 inline char nextChar() 38 { 39 if (head == tail) 40 { 41 fread(buffer, 1, BufferSize, stdin); 42 head = buffer; 43 } 44 return *head++; 45 } 46 47 inline int get() 48 { 49 static char c; 50 while ((c = nextChar()) < '0' || c > '9'); 51 52 int res = c - '0'; 53 while ((c = nextChar()) >= '0' && c <= '9') 54 res = res * 10 + c - '0'; 55 return res; 56 } 57 } 58 using input::get; 59 60 inline void Add(int u,int v,int z) 61 { 62 next[++tot]=first[u]; first[u]=tot; go[tot]=v; w[tot]=z; 63 next[++tot]=first[v]; first[v]=tot; go[tot]=u; w[tot]=z; 64 } 65 66 namespace F 67 { 68 int Dfs(int u,int father) 69 { 70 pos[u] = ++dfn_cnt; 71 Dep[u] = Dep[father] + 1; 72 size[u] = 1; 73 MinD[dfn_cnt][0]=Dep[u]; NumD[dfn_cnt][0]=u; 74 for(int e=first[u];e;e=next[e]) 75 { 76 int v=go[e]; 77 if(v==father) continue; 78 d[v] = d[u] + w[e]; 79 Dep[v] = Dep[u] + 1; 80 Dfs(v,u); 81 size[u] += size[v]; 82 MinD[++dfn_cnt][0]=Dep[u]; NumD[dfn_cnt][0]=u; 83 } 84 } 85 86 inline void Pre_Rmq() 87 { 88 for(int j=1;j<=17;j++) 89 for(int i=1;i<=dfn_cnt;i++) 90 if(i+Bin[j]-1 <= dfn_cnt) 91 { 92 int Next = i + Bin[j-1]; 93 if(MinD[i][j-1] < MinD[Next][j-1]) 94 MinD[i][j]=MinD[i][j-1], NumD[i][j]=NumD[i][j-1]; 95 else 96 MinD[i][j]=MinD[Next][j-1], NumD[i][j]=NumD[Next][j-1]; 97 } 98 else break; 99 } 100 } 101 102 inline int LCA(int x,int y) 103 { 104 x=pos[x]; y=pos[y]; 105 if(x > y) swap(x,y); 106 int T = Log[y - x +1]; 107 if(MinD[x][T] < MinD[y-Bin[T]+1][T]) return NumD[x][T]; 108 return NumD[y-Bin[T]+1][T]; 109 } 110 111 inline s64 dist(int x,int y) 112 { 113 return d[x] + d[y] - (d[LCA(x,y)] << 1) ; 114 } 115 116 namespace PD 117 { 118 inline bool inroad(int u,power a) 119 { 120 int lca = LCA(a.u,a.v); 121 if(LCA(u,lca) != lca) return 0; 122 return (LCA(u,a.u)==u || LCA(u,a.v)==u); 123 } 124 } 125 126 inline void Sort(int n) 127 { 128 for(int i=1;i<=n;i++) 129 for(int j=i+1;j<=n;j++) 130 if(pos[Stk[i]] > pos[Stk[j]]) 131 swap(Stk[i], Stk[j]); 132 } 133 134 inline power Get_road(power a,power b) 135 { 136 fc=top=0; 137 Stk[++fc] = LCA(a.u,b.u); Stk[++fc] = LCA(a.v,b.v); 138 Stk[++fc] = LCA(a.u,b.v); Stk[++fc] = LCA(b.u,a.v); 139 for(int i=1;i<=fc;i++) 140 if(PD::inroad(Stk[i],a) && PD::inroad(Stk[i],b)) 141 Stk[++top] = Stk[i]; 142 143 Sort(top); 144 top=unique(Stk+1,Stk+top+1) - Stk - 1; 145 146 power p; p.val = 0; 147 if(top==0) p.u = p.v = 0; 148 if(top==1) p.u = p.v = Stk[1]; 149 if(top==2) p.u=Stk[1], p.v=Stk[2]; 150 if(top==3) p.u=Stk[2], p.v=Stk[3]; 151 return p; 152 } 153 154 inline bool pmin(s64 a,s64 b,s64 c) 155 { 156 if(a<=b && b<=c) return 1; 157 return 0; 158 } 159 160 inline int Deal(int x,int y) 161 { 162 if(a[x].u == a[y].u) return 1; 163 p = Get_road(a[x],a[y]); 164 if(p.u==p.v) 165 { 166 if(!p.u) return 0; 167 return (s64) dist(a[x].u,p.u) * a[y].val == (s64) dist(a[y].u,p.u) * a[x].val; 168 } 169 170 int A1,A2,B1,B2; 171 double A1_time,A2_time,B1_time,B2_time; 172 if(dist(a[x].u,p.u) < dist(a[x].u,p.v)) A1=p.u, A2=p.v;else A1=p.v, A2=p.u; 173 if(dist(a[y].u,p.u) < dist(a[y].u,p.v)) B1=p.u, B2=p.v;else B1=p.v, B2=p.u; 174 175 A1_time=(s64)dist(A1,a[x].u)*a[y].val; A2_time=(s64)dist(A2,a[x].u)*a[y].val; 176 B1_time=(s64)dist(B1,a[y].u)*a[x].val; B2_time=(s64)dist(B2,a[y].u)*a[x].val; 177 178 if(A1==B1)//same 179 { 180 if(A1_time == B1_time) return 1; 181 if(A1_time < B1_time) return A2_time >= B2_time; 182 return A2_time <= B2_time; 183 } 184 else 185 { 186 if(pmin(A1_time,B1_time,A2_time)) return 1; 187 if(pmin(A1_time,B2_time,A2_time)) return 1; 188 if(pmin(B1_time,A1_time,B2_time)) return 1; 189 if(pmin(B1_time,A2_time,B2_time)) return 1; 190 return 0; 191 } 192 } 193 194 inline void Solve() 195 { 196 n=get(); 197 dfn_cnt=tot=0; 198 memset(first,0,sizeof(first)); 199 for(int i=1;i<n;i++) 200 { 201 x=get(); y=get(); z=get(); 202 Add(x,y,z); 203 } 204 205 F::Dfs(1,0); F::Pre_Rmq(); 206 207 m=get(); 208 for(int i=1;i<=m;i++) 209 { 210 a[i].u=get(); a[i].v=get(); a[i].val=get(); 211 } 212 213 Ans = 0; 214 215 for(int i=1;i<=m;i++) 216 for(int j=i+1;j<=m;j++) 217 { 218 Ans += Deal(i,j); 219 } 220 221 printf("%d\n",Ans); 222 } 223 224 int main() 225 { 226 Log[0]=-1; for(int i=1;i<=2e5;i++) Log[i] = Log[i>>1] + 1; 227 Bin[0]=1; for(int i=1;i<=17; i++) Bin[i] = Bin[i-1] << 1; 228 229 T=get(); 230 231 while(T--) 232 Solve(); 233 } View Code

 

转载于:https://www.cnblogs.com/BearChild/p/6531428.html

总结

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