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第二十五讲 用线性代数解微分方程组

发布时间：2025/4/16 编程问答 51 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 第二十五讲 用线性代数解微分方程组 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

一，上一讲的例题，如图：

设x=T1x=T_1x=T1​，y=T2y=T_2y=T2​
方程组为·：{x′=−2x+2yy′=2x−5y\left\{\begin{matrix}{x}'=-2x+2y\\ {y}'=2x-5y\end{matrix}\right.{x′=−2x+2yy′=2x−5y​
用消元法求出的通解为：{x=c1e−t+c2e−6ty=12c1e−t−2c2e−6t\left\{\begin{matrix}x=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{-6t}\\ y=\frac{1}{2}c_{1}e^{-t}-2c_{2}e^{-6t}\end{matrix}\right.{x=c1​e−t+c2​e−6ty=21​c1​e−t−2c2​e−6t​

二，用矩阵重新表示方程组：
[x′y′]=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′​]=[−22​2−5​][xy​]

三，用矩阵重新表示通解：
[xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy​]=c1​[121​​]e−t+c2​[1−2​]e−6t

四，设解的形式为：
[xy]=[a1a2]eλt\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}[xy​]=[a1​a2​​]eλt

五，将解带入方程组：
[x′y′]=λ[a1a2]eλt=[−222−5][a1a2]eλt=[−222−5][xy]\begin{bmatrix}{x}'\\ {y}'\end{bmatrix}=\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}e^{\lambda t}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}[x′y′​]=λ[a1​a2​​]eλt=[−22​2−5​][a1​a2​​]eλt=[−22​2−5​][xy​]

六，化简，求出特征值：

  • λ[a1a2]=[−222−5][a1a2]\lambda \begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}λ[a1​a2​​]=[−22​2−5​][a1​a2​​]
  • [−222−5][a1a2]−λ[a1a2]=0\begin{bmatrix}-2 &2 \\ 2 & -5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}-\lambda \begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=0[−22​2−5​][a1​a2​​]−λ[a1​a2​​]=0
  • [−2−λ22−5−λ][a1a2]=0\begin{bmatrix}-2-\lambda &2 \\ 2 & -5-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[−2−λ2​2−5−λ​][a1​a2​​]=0
  • 要使等式有非0解，必须满足：∣−2−λ22−5−λ∣=0\begin{vmatrix}-2-\lambda & 2 \\ 2 & -5-\lambda \end{vmatrix}=0∣∣∣∣​−2−λ2​2−5−λ​∣∣∣∣​=0
  • 解得：λ1=−1,λ2=−6\lambda _{1}=-1, \lambda _{2}=-6λ1​=−1,λ2​=−6，（答案跟上一讲求的特征值一样）

    • 七，将λ1\lambda _{1}λ1​和λ2\lambda _{2}λ2​分别代入等式，求出特征向量：

  • 将λ1\lambda _{1}λ1​代入：[−122−4][a1a2]=0\begin{bmatrix}-1 &2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[−12​2−4​][a1​a2​​]=0
  • 设自由变量a1=1a_{1}=1a1​=1，则a2=12a_{2}=\frac{1}{2}a2​=21​，[a1a2]=c1[112]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}[a1​a2​​]=c1​[121​​]，c1c_{1}c1​为任意常数
  • [xy]=[a1a2]eλt=c1[112]e−t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{1}\begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}[xy​]=[a1​a2​​]eλt=c1​[121​​]e−t
  • 将λ2\lambda _{2}λ2​代入：[4221][a1a2]=0\begin{bmatrix}4 &2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2} \end{bmatrix}=0[42​21​][a1​a2​​]=0
  • 设自由变量a1=1a_{1}=1a1​=1，则a2=−2a_{2}=-2a2​=−2，[a1a2]=c2[1−2]\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}[a1​a2​​]=c2​[1−2​]，c2c_{2}c2​为任意常数
  • [xy]=[a1a2]eλt=c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\end{bmatrix}e^{\lambda t}=c_{2}\begin{bmatrix}1 \\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy​]=[a1​a2​​]eλt=c2​[1−2​]e−6t

    • 八，得解空间：
    [xy]=c1[112]e−t+c2[1−2]e−6t\begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix} 1\\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}e^{-t}+c_{2}\begin{bmatrix}1\\ -2\end{bmatrix}e^{-6t}[xy​]=c1​[121​​]e−t+c2​[1−2​]e−6t

    九，二阶矩阵的特征值是如下方程的解：
    λ2−trace(A)λ+detA=0\lambda ^{2}-trace(A)\lambda +detA =0λ2−trace(A)λ+detA=0
    trace(A)是A的迹，detA是A的行列式

    总结

    以上是生活随笔为你收集整理的第二十五讲 用线性代数解微分方程组的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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