一，对角化分解

$A=S\Lambda S^{-1}$

$S^{-1}AS=\Lambda$
A表示具有n个线性无关的x（特征向量）的矩阵
S表示由x组成的可逆方阵，称作特征向量矩阵
$\Lambda$表示由A的λ（特征值）作为对角元素的对角矩阵
比较：A=LU（消元化分解），A=QR（正交化分解）

二，矩阵的幂公式

$A^k=S{\Lambda }^k{S}^{-1}$

$A^{k}x={\lambda }^{k}x$

A和$A^k$具有相同的特征向量
如果所有λ均满足|λ|<1，那么当k→∞时，$A^k$→0

三，从特征值判断矩阵是否可对角化

性质1：如果A的λ各不相同，那么A的x都线性无关，可对角化

性质2：如果A有相同的λ，那么无法确定A的x是否线性无关

如果A是单位矩阵，λ都=1，而x都线性无关
如果A是退化矩阵（上一讲），λ相同，但x只有一个

四，应用：求解差分方程$u_{k+1}=A{u}_k$

前提：A可对角化

根据方程规律可导出：$u_{k+1}=A{u}_k=A^{k+1}{u}_0$

因此，方程的通解：$u_k=A^k{u}_0$

将初始条件$u_0$带入，即可得特解:

第一步：根据上一讲的方法，求出A的Λ和S
第二步：将$u_0$分解成$u_0=S{\Lambda }_u$，${\Lambda }_u$表示$u_0$特征值对角矩阵
第三步：根据已知条件S，求出${\Lambda }_u$
第四步：根据幂公式，$A^k{u}_0=S{\Lambda }^k{S}^{-1}{u}_0=S{\Lambda }^k{S}^{-1}S{\Lambda }_u=S{\Lambda }^k{\Lambda }_u$
第五步：得特解，$u_k=S{\Lambda }^k{\Lambda }_u$

五，应用：求解斐波那契数列通项公式$F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$，$F_{100}$的值

第一步，建立方程组：$\{\begin{array}{c}{F}_{k+2}=F_{k+1}+F_k\\ F_{k+1}=F_{k+1}\end{array}$

第二步，化为矩阵：$\left[\begin{array}{c}{F}_{k+2}\\ F_{k+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$

第三步，化为标准型：$u_{k+1}=A{u}_k$

$u_{k+1}=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+2}\\ F_{k+1}\end{array}\right]$，$u_k=\left[\begin{array}{c}{F}_{k+1}\\ F_k\end{array}\right]$，$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

第四步，根据上一节的方法求特解$u_{99}=S{\Lambda }^{99}{\Lambda }_u$

$F_{100}$为$u_{99}$第一行的值
此例中，$\left|{\lambda }_1\right|>1$，$\left|{\lambda }_2\right|<1$，因此当k→∞时，${\lambda }_1^k\to \infty$对应的解为稳态解，${\lambda }_2^k\to 0$对应的解为暂态解

总结

以上是生活随笔为你收集整理的第二十二讲 对角化分解和幂公式的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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