拉格朗日插值--11次切比雪夫多项式零点作为节点Python实现并计算误差

目标函数

y=11+x2y=11+x2

条件

通过拉格朗日进行插值但是通过所给的节点的不同，会导致插值的效果也不同。

下面方法采用的是用等距节点来实现插值效果。

插值节点：
使用的是11次切比雪夫多项式的零点（扩展到指定的x空间）
也就是11个特定的节点。可以区别于之前的使用等距节点的情况

插值效果图

龙格现象基本不严重。虽然误差还存在，但基本算是吻合。
甚至比之前的最基础的埃尔米特插值更好。

代码

通过计算loss绝对值的均值，我们可以发现，用这种插值的方法只有接近0.05

import numpy as np from sympy import * import matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return 1 / (1 + x ** 2)def ChebyshevXGet():ans = np.array(list(map(lambda x: np.cos((21 - 2 * x) / 22 * np.pi), range(11))))return ans * 5def draw(L):plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsex = np.linspace(-5, 5, 100)y = f(x)Ly = []for xx in x:Ly.append(L.subs(n, xx))plt.plot(x, y, label='原函数')plt.plot(x, Ly, label='Lagrange插值函数')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.savefig('1.png')plt.show()def lossCal(L):x = np.linspace(-5, 5, 101)y = f(x)Ly = []for xx in x:Ly.append(L.subs(n, xx))Ly = np.array(Ly)temp = Ly - ytemp = abs(temp)print(temp.mean())if __name__ == '__main__':x = ChebyshevXGet()y = f(x)n, m = symbols('n m')init_printing(use_unicode=True)L = 0for k in range(11):temp = y[k]for i in range(11):if i != k:temp *= (n - x[i]) / (x[k] - x[i])L += templossCal(L)draw(L)

总结

以上是生活随笔为你收集整理的拉格朗日插值--11次切比雪夫多项式零点作为节点Python实现并计算误差的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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