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第二章 随机变量及其概率分布

1、随机变量

定义：设随机试验的样本空间为S={e},X=X{e}是定义在样本空间S上的实值单值函数.称X=X{e}为随机变量

常用$\xi ,\eta ,\zeta$希腊字母或X，Y，Z表示
有离散型和连续型
若随机变量只可能取有限个或无限个值时，称之为 离散型随机变量
若随机变量取一个区间内所有实数时，称之为 连续型随机变量
随机变量取值由随机试验的结果确定

随机变量X取某个值x的事件用记号{X=x}表示，其概率即P{X=x}
一般，若L是实数集，将随机变量x在L上的取值事件记为{x$\in$L}
其概率记为P{x$\in$L}
P{x$\in$L}=P{e|X(e)$\in$L}

2、离散型随机变量及其分布律

若随机变量只可能取有限个或可数(可列)无限个值时，则称之为离散型随机变量

离散型随机变量X的所有可能取的值为$x_k(k=1,2,...)$,X取各个可能值的概率，即事件{X=$x_k$}的概率，为
P{X=$x_k$}=$p_k$,k=1,2,…
由概率的定义，$p_k$满足如下两个条件：
1.非负性，$p_k$$\ge$ 0，k=1,2,…
2.规范性，${\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1$，所有概率相加为1

以下是三个重要的离散型随机变量
(一)0-1分布
定义:设随机变量X只可能取0和1两个值，它的分布律是
P{X=k}=$P^k(1-P{)}^{1-k},k=0,1(0<P<1)$
则称X服从以P为参数的(0-1)分布或两点分布

(二)伯努利试验、二项分布
设试验E只有两种可能结果：A和$\overline{A}$,则称E为伯努利试验，设P(A)=p(1<p<1),
此时P($\overline{A}$)=1-p,将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验
P{X=k}=$C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,3...$
则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，并记为X~B(n,p)
Q
(三)泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…而取各个值的概率为
P{X=k}=$\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,3...$
其中$\lambda$>0是常数，则称X服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为X~P($\lambda$)

泊松定理：设$\lambda$>0是一个常数，n是任意正整数，设$n{p}_n=\lambda$,则对于任一固定的非负整数k，有
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n^k{p}_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$$
也就是说以n,p为参数的二项分布的概率值可以由参数为$\lambda =np$的泊松分布的概率值近似

3、随机变量的分布函数

定义:设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
F(x)=P{X$\le$x},-$\infty$<x<$\infty$
称为X的分布函数
对于任意实数$x_1$,$x_2$($x_1$<$x_2$),有
P{$x_1$<X$\le$$x_2$}=P{X$\le$$x_2$}-P{X$\le$$x_1$}=F($x_2$)-F($x_1$)

分布函数F(x)有以下的基本性质：
1、F(x)是一个不减函数
2、0$\le$F(x)$\le$ 1,且
$$F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$$

$$F(\infty )=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$$

4、连续随机变量及其概率密度

如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使对于任意实数x有
$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$
则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数，简称概率密度
概率密度f(x)具有以下性质：
1、f(x)$\ge$ 0
2、${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
3、对于任意实数$x_1$,$x_2$($x_1$$\le$$x_2$),
P{$x_1$<X$\le$ $x_2$}=F($x_2$)-F($x_1$)=${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$
4、若f(x)在点x处连续，则有F$\prime$(x)=f(x)

对于连续型随机变量X来说，它取任意指定实数值a的概率均为0，即P{X=a}=0

（一）均匀分布

定义：若连续型随机变量X具有概率密度
$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a},x\in (a,b)\\ 0,其他\end{array}$$
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

性质：均匀分布具有等可能性
即对任一长度$l$的子区间(c,c+$l$),a$\le$c<c+$l$$\le$b,有
P{c<X$\le$c+$l$}=${\int }_c^{c+l}f(x)dx={\int }_c^{c+l}\frac{1}{b-a}dx=\frac{l}{b-a}$
即，服从U(a,b)上的均匀分布的随机变量X落入(a,b)中的任意子区间上的概率只与其区间长度有关，与区间位置无关
即，X落入(a,b)中的等长度的任意子区间上是等可能的
X的分布函数为
F(x)=$\{\begin{array}{l}0,x<a\\ \frac{x-a}{b-a},a\le x<b\\ 1,x\ge b\end{array}$

(二)指数分布

若连续型堆积变量X的概率密度为
$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$
其中$\theta$>0为常数，则称X服从参数为$\theta$的指数分布，记为X~E($\lambda$)
易知f(x)$\ge$ 0 ,且${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$
分布函数为
F(x)=$\{\begin{array}{l}1-e^{-x/\theta },x>0\\ 0，其他\end{array}$

性质：指数分布具有无记忆性
对于s,t>0,有
P(X>s+t|X>s)=P{X>t}

(三)正态分布

性质：
1.f(x)关于x=$\mu$对称
2.当x$\le$$\mu$时，f(x)是严格单调递增函数
3.f(max)=f($\mu$)=$\frac{1}{2\sqrt{\pi }\sigma }$
4.$\underset{|x-\mu |\to \infty }{\lim }f(x)=0$

$\mu$为位置参数
$\sigma$为尺度参数，$\sigma$越小，图形越高越瘦，$\sigma$越大，图形越矮越胖

标准正态分布
当$\mu$=0，$\sigma$=1时
概率密度用$\phi$(x)表示，分布函数用$\varphi$(x)表示

5、随机变量的函数的分布

总结

以上是生活随笔为你收集整理的概率论与数理统计(二)的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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