电磁场考前总结
第一章公式整理
第二章公式整理(并没有整理多少)
概念
标量：一个只用大小描述的物理量。
矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量。
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 。
场：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
等值面：标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。
如果两个不为零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 正交 。
标量场的梯度是一标量 场，表示某一点处标量场的 变化率。
方向导数表示场沿某方向的空间变化率
梯度描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
电荷 是产生电场的源， 电流 是产生磁场的源。
电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移到另一个物体。
电介质的分子分为 无极 分子和 有极 分子。
在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋
于电场方向，这种现象称为电介质的 极化
无极分子的极化称为 位移 极化，有极分子的极化称为 取向 极化
判断
- 单位矢量是常矢量。(错)
矢量的模和方向都不随空间坐标变化而变化的矢量为常矢量。单位矢量是指模等于1的向量。
- 标量场的等值面可以相交。(错)
同一个点不可能有两个物理量
- 矢量叉乘满足交换律(错)
- 矢量点乘满足结合律(错)
如我们所知，点乘是投影，
所以不满足结合律
- 静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分为零(对)
重要公式定理
几个重要计算
1.e⃗A=A∣A∣\vec{e}_A=\frac{A}{|A|}eA=∣A∣A
2.∣A⃗−B⃗∣|\vec{A}-\vec{B}|∣A−B∣注意是模
3.A⃗⋅B⃗\vec{A}\cdot\vec{B}A⋅B点乘后是个值(标量)
4.cosθAB=A⃗⋅B⃗∣A⃗∣∣B⃗∣cos\theta_{AB}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}cosθAB=∣A∣∣B∣A⋅B,θAB=cos−1A⃗⋅B⃗∣A⃗∣∣B⃗∣\theta_{AB}=cos^{-1}\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}θAB=cos−1∣A∣∣B∣A⋅B
5.A在B上的分量
AB=∣A⃗∣cosθAB=A⃗⋅B⃗∣B⃗∣A_B=|\vec{A}|cos\theta_{AB}=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{B}|}AB=∣A∣cosθAB=∣B∣A⋅B
6.叉积
叉积计算公式
注意:中间一个值做矩阵时要带符号
- 距离矢量：用末点减初点得到的矢量
- 点乘即投影，如求某矢量在x上的分量，就将该矢量点乘e⃗x\vec{e}_xex即可
- 求某矢量与x，y，z的夹角，用
将A替换成某矢量，B替换成e⃗x\vec{e}_xex，e⃗y\vec{e}_yey，e⃗z\vec{e}_zez即可
补充公式:
第一第二都是分配律
第三是转换
第四个可以记忆成先将B单独拿出来，中间量B为正，其余两个任意组合
- 坐标系转换
三个坐标系的转换画个图就知道了
直角(x,y,z)
圆柱(ρ,ϕ,z\rho,\phi,zρ,ϕ,z)
球(r,θ,ϕr,\theta,\phir,θ,ϕ)
圆柱和球里的ϕ\phiϕ是一样的，都是xy平面的偏角，θ\thetaθ是俯仰角
`
- 方向余弦
即矢量与x，y，z的夹角
- 梯度是最大变化率方向
梯度求解公式，哈密顿算子和标量函数结合
求某一方向的方向导数，先算出标量场的梯度，然后点乘该方向单位矢量，即在该方向上的投影。
- 散度的物理意义是单位闭合面内通过的矢量
求解方式就是点乘
- 旋度的物理意义是旋涡源密度矢量
求解方式:叉积
- 求解过程中会涉及到坐标的转换(重要！)
几个重要公式，散度定理，斯托克斯定理，格林公式要看一下，不过估计考不到
真是课堂造航母，考试拧螺丝
第二章
几个重要定理
库仑（Coulomb）定律(1785年)
真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
F⃗12=e⃗Rq1q24πε0R122=q1q2R⃗124πε0R123\vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}F12=eR4πε0R122q1q2=4πε0R123q1q2R12
静电场的散度（微分形式）：
∇⋅E⃗(r⃗)=ρ(r⃗)ε0\nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}∇⋅E(r)=ε0ρ(r)(推导见书P43)
静电场的高斯定理(积分形式)：
∮SE⃗(r⃗)⋅dS⃗=1ε0∫Vρ(r⃗)dV\oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV∮SE(r)⋅dS=ε01∫Vρ(r)dV
高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。
静电场的旋度（微分形式）：
∇×E⃗(r⃗)=0\nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0∇×E(r)=0
静电场的环路定理(积分形式)：
∫cE⃗(r⃗)⋅dl⃗=0\int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0∫cE(r)⋅dl=0
环路定理表明:静电场是无旋场，是保守场，电场力做功和路径无关
实验表明，真空中的载流回路C1对 载流回路C2的作用力
F⃗12=μ04π∫C2∫C1I2dl⃗2×(I1dl⃗1×R⃗12)R123\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}F12=4πμ0∫C2∫C1R123I2dl2×(I1dl1×R12)
恒定场的散度(微分形式)：
∇⋅B⃗(r⃗)=0\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0∇⋅B(r)=0
磁通连续性原理(积分形式):
∫SB⃗(r⃗)⋅dS⃗=0\int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0∫SB(r)⋅dS=0
磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线
恒定磁场的旋度(微分形式):
∇×B⃗(r⃗)=μ0J⃗(r⃗)\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})∇×B(r)=μ0J(r)
安培环路定理(积分形式):
∮CB⃗(r⃗)⋅dl⃗=μ0∫SJ⃗(r⃗)⋅dS⃗=μ0I\oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I∮CB(r)⋅dl=μ0∫SJ(r)⋅dS=μ0I
安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源
电流连续性方程
积分形式:∮SJ⃗⋅dS=−dqdt=−ddt∫VρdV\oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV∮SJ⋅dS=−dtdq=−dtd∫VρdV
(流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量)
微分形式:∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅J=−∂t∂ρ
极化强度矢量P⃗=xeε0E⃗\vec{P}=x_e\varepsilon_0\vec{E}P=xeε0E
任意闭合曲面电位移矢量 D 的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和
∇⋅D⃗=ρ\nabla \cdot \vec{D}=\rho∇⋅D=ρ
其积分形式为∮SD⃗⋅dS⃗=∫VρdV\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{S}=\int_V\rho dV∮SD⋅dS=∫VρdV
总结
