移动平均滤波_Kalman滤波理论与MATLAB实现引言

“ 该材料包括卡尔曼滤波的基本技术背景和更实际的应用方面：如何在数学模型中表示问题，分析系统设计参数函数的估计器性能，在数值稳定算法中实现力学方程，评估其性能计算要求，测试结果的有效性，监控滤波器的运行性能。”

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首先：什么是卡尔曼滤波器？

理论上，它被称为线性最小均方估计(LLSME)，因为它使线性随机系统的均方估计误差最小化。它也被称为线性二次估计器(LQE)，因为它使测量白噪声和干扰噪声的线性动态系统的估计误差的二次函数最小化。直到今天，它的发现已经过去了半个多世纪，它仍然是估计理论史上一个独特的成就。它是随机系统实时最优估计问题的唯一一个实用的有限维解，除了具有有限平均值和第二中心矩(协方差)外，它对潜在概率分布的假设很少。它的数学模型有一系列的重要应用，包括噪声测量，为了估计具有少于可预测干扰的动态系统的当前状态。尽管已经发展了许多近似方法来将其应用扩展到非线性问题，并且几十年来致力于将其推广到非线性应用中，但是对于非线性问题还没有找到类似的一般解。

实际上，Kalman滤波器是数学工程的重大发现之一，它用数学模型来解决工程问题，就像用数学物理来解决物理问题，或者用计算数学来解决计算机应用中的效率和精度问题一样。它最直接的应用是监测和控制复杂的动态系统，如连续制造过程、飞机、船舶或航天器。要控制一个动态系统，首先必须知道它在做什么。对于这些应用，并不总是能够测量您想要控制的每个变量，而Kalman滤波器提供了间接和从噪声测量中推断未测量变量的数学框架。Kalman滤波器还用于预测人们不太可能控制的动态系统的未来可能的走向，例如洪水期间河流的流量、天体的轨迹或交易商品和证券的价格。它已成为一种通用工具，用于将不同的传感器和/或数据采集系统集成到一个整体最优的解决方案中。

另一个额外的好处是，Kalman滤波模型可以作为一种工具，用于评估动态系统轨迹可能的场景下替代传感器系统设计的相对精度。没有这种能力，许多复杂的传感器系统(包括全球导航卫星系统)的开发就不可能实现。

从实际的角度来看，本书将呈现以下观点：

• 它只是一种工具。它本身并不能解决任何问题，尽管它可以使你做起来更容易。它不是物理工具，而是数学工具。数学工具使脑力劳动更有效率，正如机械工具使体力劳动更有效率一样。与任何工具一样，在有效地应用它之前，了解它的用途和功能是很重要的。这本书的目的是使你充分熟悉和熟练使用卡尔曼滤波器，你可以正确和有效地应用它。

• 它是一个计算机程序。它被认为“非常适合在数字计算机上实现”，部分原因是它使用有限数量的变量来表示估计问题。然而，它确实假设这些变量是具有无限精度的实数。它在使用中遇到的一些问题来自于有限维和有限信息的区别以及“有限”和“可管理”问题大小的区别。这些都是Kalman滤波在实际应用中必须与理论一起考虑的问题。

• 它是一个估计问题的一致统计特征。它不仅仅是一个估计器，因为它传播动态系统的当前知识状态，包括由随机动态扰动和传感器噪声引起的均方不确定性。这些特性对于传感器系统的统计分析和预测设计非常有用。

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它是如何被称为过滤器的

过滤器这一术语应用于估计器似乎有些奇怪。更常见的是，过滤器是去除混合物中不需要的部分的物理装置。(felt一词来源于中世纪拉丁语词干，用于表示用作液体过滤器的材料。)最初，过滤器解决了分离液体-固体混合物中不需要的成分的问题。在水晶收音机和真空管的时代，这个术语被用于模拟电路“过滤”电子信号。这些信号是不同频率成分的混合物，这些物理设备优先衰减不需要的频率。

这一概念在20世纪30年代和40年代被扩展到“信号”与“噪声”的分离，两者都以其功率谱密度为特征。Kolmogorov和wiener利用概率分布的统计特性，在给定信号和噪声之和的情况下，形成信号的最优估计。

在Kalman滤波中，这个词的含义远远超出了分离混合物成分的最初想法。它还包括了一个反演问题的解，在这个问题中，人们知道如何将可测量的变量表示为主要关心的变量的函数。本质上，它颠倒了这种函数关系，并将自变量估计为因变量(可测量)的逆函数。这些感兴趣的变量也可以是动态的，其动态性只能部分预测。

它的数学基础

图1.1描述了构成卡尔曼滤波理论基础的基本主题。尽管这表明Kalman滤波是金字塔的顶点，但它本身只是另一门学科“现代”控制理论和统计决策理论的一部分基础。在这本书中，我们将只考察金字塔的前三层，以及一些基础数学。

图1.1 卡尔曼滤波的基本概念

它的用途是什么

Kalman滤波的应用涉及很多领域，但它作为一种工具的用途几乎只限于两个目的：估计和估计量的性能分析。

• 估计动态系统的状态。什么是动态系统？几乎所有的东西，如果你挑剔的话。除了一些基本的物理常数外，宇宙中几乎没有任何东西是真正恒定的。矮行星谷神星的轨道参数不是恒定不变的，甚至“固定”的恒星和大陆也在移动。几乎所有的物理系统在某种程度上都是动态的。如果一个人想要非常精确地估计它们随时间变化的特征，那么就必须考虑它们的动态。问题是，人们也不总是非常精确地了解它们的动态。考虑到这种部分无知的状态，最好的办法就是用概率更精确地表达我们的无知。Kalman滤波器允许我们利用这些统计信息来估计具有某种随机行为的动态系统的状态。表1.1的第二列列出了一些此类系统的例子。

• 估计系统的性能分析。表1.1的第三列列出了一些可能用于估计相应动态系统状态的传感器类型。设计分析的目的是确定在给定的一组性能标准下如何最好地使用这些传感器类型。这些标准通常与估算精度和系统成本有关。

表1.1 估计问题示例

应用	动态系统	传感器类型
过程控制	化工厂	压力
		温度
		流量
		气体分析仪
洪水预测	河流系统	水位
		雨量计
		气象雷达
跟踪	航天器	雷达
		成像系统
导航	船	六分仪
		日志
		陀螺仪
		加速度计
		全球导航卫星系统接收机

Kalman滤波器在确定最佳滤波增益时使用其估计误差概率分布的参数表征，并且这些参数可用于评估其作为估计系统“设计参数”的函数的性能，例如

• 使用的传感器类型；

• 与待估计系统有关的各种传感器类型的位置和方向；

• 传感器的允许噪声特性；

• 平滑传感器噪声的预滤波方法；

• 各种传感器类型的数据采样率，以及

• 简化模型以减少实现需求的级别。

Kalman滤波器形式的分析能力还允许系统设计者为估计系统的子系统分配“误差预算”，并在预算分配中进行权衡，以优化成本或其他性能指标，同时达到所需的估计精度水平。

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关于最优估计方法

Kalman滤波器是几个世纪以来许多有创造性的思想者的思想演变过程的结果。我们在这里展示了这个过程中的一些开创性的想法，它们的发现者在图1.2中以历史的视角列出。这份清单绝不是详尽无遗的。涉及到的人太多了，无法全部展示出来，但这个数字应该能让人对所涉及的时间段有所了解。这个数字只覆盖了500年，数学概念的研究和发展可以追溯到历史之外。对最优估计更详细的历史感兴趣的读者可以参考Kailath、Lainiotis、Mendel和Gieseking和Sorenson的调查文章以及Battin和Schmidt的个人成果。

图1.2 估算技术的一些重要贡献者的时间线

最优估计理论的发展

从噪声数据中形成最优估计的第一种方法是最小二乘法。它通常认为是卡尔·弗里德里希·高斯(1777-1855)于1795年发现的。测量误差的不可避免性自伽利略时代(1564-1642)就已被认识到，但这是第一个处理测量误差的正式方法。虽然它更常用于线性估计问题，但高斯首先将其用于数学天文学中的非线性估计问题，这是天文学史上一个有趣的事件。

1801年1月1日，十九世纪的第一天，意大利天文学家朱塞佩·皮亚齐正在检查星表中的一个条目。皮亚齐不知道，它存在一个打印错误。在寻找那颗“失踪”的恒星时，皮亚齐却发现了一些移动的东西。它是“矮行星”谷神星——小行星带中最大的天体，也是第一个被发现的天体，但皮亚齐还不知道这一点。他能够在41个晚上跟踪和测量它在“固定”恒星背景下的明显运动，直到它离太阳太近而消失。

1月24日，皮亚齐把他的发现写信给约翰·博德。博德最为人所知的是博德定律，它指出行星到太阳的距离，以天文单位表示，是由序列给出的

事实上，1772年第一次提出这个公式的不是伯德，而是约翰蒂茨。那时，只有六颗已知的行星。1781年，弗里德里希·赫歇尔发现了天王星，它很好地符合n=6的公式。当n=3时还没有发现行星。在博德的推动下，一个欧洲天文学家协会已经寻找“失踪”的第八颗行星近30年。皮亚齐不是这个协会的一员，但他确实告诉了博德他的意外发现。

皮亚齐的信直到3月20日才到达博德那里。博德怀疑皮亚齐的发现可能是失踪的行星，但是没有足够的数据来确定它的轨道元素。这是非线性方程组中的一个问题，牛顿本人曾宣称这是数学天文学中最困难的问题之一。没有人解决它，结果谷神星又在太空中迷失了方向。

皮亚齐的发现直到1801年秋天才发表。在新世纪开始之际，一颗新行星可能被发现并随之消失，这是一个令人兴奋的消息。它与一个哲学上的理由相矛盾，即只有七颗行星存在于谷神星之前，这个数字是由受人尊敬的哲学家格奥尔格·黑格尔等人所捍卫的。黑格尔最近出版了一本书，他在书中斥责天文学家浪费时间寻找第八颗行星，而当时有充分的哲学理由证明只有七颗。这个新天体几乎成了各地知识界讨论的话题。幸运的是，这个问题引起了哥廷根大学一位名叫卡尔·弗里德里希·高斯的24岁数学家的注意。

几周前，高斯曾尝试过轨道确定的问题，但为了其他事情，他把它放在一边。现在他把大部分时间都花在这个问题上，在12月对谷神星的轨道进行了估计，并把他的结果发送给皮亚齐。这颗新的“行星”(后来被重新归类为小行星)在今年的第一天被发现，在今年的最后一天，它的发现者再次发现了它。

高斯直到1809年才发表他的轨道测定方法。在这本出版物中，他还描述了他在1795年18岁时发现的最小二乘法，并用它来改进他对谷神星轨道的估计。

尽管谷神星在发现的历史上扮演了重要的角色，而且它仍然定期出现在夜空中，但它作为一个挑战智力兴趣的对象已经逐渐淡出人们的视线，直到2007年发射了科学探测器“黎明”号，并于2015年与谷神星会合。另一方面，最小二乘法自提出以来，一直是几代科学家和技术人员研究和应用的对象。它对科学史产生了深远的影响。它是第一个最优估计方法，它为实验科学和理论科学之间提供了一个重要的联系：它为实验学家提供了一种估计理论模型未知参数的实用方法。

总结

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