机器人动力学方程的性质

一个n连杆的机器人的动力学方程含有很多项，特别是全部是转动关节的机械臂，让人看着害怕。但是，机器人动力学方程含有一些有助于开发控制算法的重要性质，其中最重要的是反对称性、无源性、有界性和参数的线性性。

反对称性（skew aymmetry）和无源性(passivity)

• 在动力学方程中，矩阵N=D˙−2C 是反对称性的，即 nij=−nji
  由于存在多个矩阵C, 这里C存特定值：
  

  cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)
  ∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(∂bij∂qk−12∂bjk∂qi)q˙(k)q˙(j)

  由于 D˙(q) 的第 (k,j) 个元素 d˙kj=∑ni=1∂dkj∂qiq˙i

  矩阵N=D˙−2C 的第 (k,j)个元素可以表示为：
  

  nkj=d˙kj−2ckj=∑i=1n[∂dij∂qk−∂dki∂qj]
  可以看出：
  nij=−nji
  因此，矩阵 N 是反对称矩阵。对任意向量 ω , 有 ωTN(q，q˙)ω=0
  • 无源性
    机器人的总动能：H=12q˙TD(q)q˙+P(q)，求导，得：
    H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T∂P∂q
    忽略摩擦和末端受力，带入动力学方程，可得，
    H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
    在公式两边同时对时间积分，得：
    q˙T(t)τ(t)dt=H(T)−H(0)≥−H(0)

  惯性矩阵的界限(bounded)

  对 n 连杆机器人，他的惯性矩阵是正定且对称的，对广义关节变量 q， 令0<λ1(q)≠⋯≠λn(q) 表示D(q) 的 n 个特征值。
  显然易得：
  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n
  如果所有的关节都是转动关节，那么惯性矩阵都是关于关节变量的正弦和余弦函数，因此对应的广义坐标是有界的。如果惯性矩阵具有一致的界限，可以找到常数 λm 和 λM，满足：
  

  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n<∝

  参数的线性化(linearity-in-the-parameter)

  存在 n∗ℓ 函数 Y(q,q˙,q¨)，以及 ℓ 维向量 Θ，使得欧拉方程可以写成：

  D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ
  函数 Y(q,q˙,q¨)被称为回归方程（regeessor）, 向量 Θ 为参数向量。

  对每一个刚体，可以通过 总质量、惯性张量、质心来表示，总十个独立的参数，因此，对于一个n连杆机器人来说，最多有10n个参数，因为多关节机器人各连杆通过耦合连接在一起，实际的参数少于10n
  事实上，寻找这样的方程是比较困难的。

  总结

  以上是生活随笔为你收集整理的机器人动力学方程的性质的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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